Gleichung einer Potenzfunktion bestimmen

Question

Aufgabe: a) Der Graph fällt für x < 0 und verläuft durch den Punkt Q (3/-4)

                 b) Die Funktion hat einen Hochpunkt. Der Graph verläuft durch den Punkt R (-3/-6)

                 c) Die Funktion hat die Wertemenge R und der Graph verläuft durch den Punkt S (-3/-4,5)

Bestimme die Gleichung die die Bedingung erfüllt. Form: y=axⁿ mit n = alle natürlichen Zahlen.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe versucht so vorranzugehen, sodass ich x und y in die Form eingesetzt habe, jedoch hat das nicht funktioniert bzw. es kam nicht das richtige Ergebnis raus. Ich weiß ebenfalls nicht was ich in den Exponenten reinsetzen soll. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Hallo, ich habe mich vertippt, ich meine y=axⁿ. Das sind alles verschiedene Aufgaben also für jede Aufgabe eine Potenzfunktion

Comments

Form: y=ax^{2} mit n = alle natürlichen Zahlen.

n kommt in der "Form" gar nicht vor.

Wieviele Potenzfunktionen soll das geben mit diesen 3 Bedingungen?

Müssen alle gleichzeitig erfüllt sein? 

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Hallo, ich habe mich vertippt, ich meine y=axⁿ. Das sind alles verschiedene Aufgaben also für jede Aufgabe eine Potenzfunktion.

Answer 1

ich meine y=axn. Das sind alles verschiedene Aufgaben also für jede Aufgabe eine Potenzfunktion

a) Der Graph fällt für x < 0 und verläuft durch den Punkt Q (3/-4)

Bei a) kannst du einfach

y = -4/3 x¹ nehmen, das fällt sogar auf ganz ℝ.

Ansonsten kannst du noch für jedes beliebige ungerade n eine solche Funktion aufstellen.

Comments

Vielen Dank. Und wie muss ich bei der b) und c) vorgehen?

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Bei b) wählst du ein beliebiges "gerades n". Einfach nicht gerade n=0.

Ansatz z.B.

y = a x²

Punkt R (-3/-6) einsetzen

-6 = a * (-3)²

-6 = a*9

-6/9 = -2/3 = a

Also y = -2/3 x²

Oder Ansatz

y = a x⁴
Punkt R (-3/-6) einsetzen
-6 = a * (-3)⁴

usw.

a wird bei b) negativ.

Bei c) ist dann wieder n ungerade gefordert.

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Gilt x¹ als Potenzfunktion?

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Bei b) bin ich genau so vorgegangen, aber wenn ich dann den Graphen zeichne bzw. bei zb desmos eingebe sind die punkte nicht bei (-3/-6).

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@mws:

Verlangt ist

Form: y=ax^{n} mit n = alle natürlichen Zahlen.

D.h. die haben das in der  Fragestellung so festgelegt.

Und: Warum genau möchtest du das n=1 nicht zulassen?

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Dann gibst du das bei Desmos falsch ein.

Hier mal b) mit plotlux:

Plotlux öffnen

f₁(x) = -2/3x²P(-3|-6)Zoom: x(-6…6) y(-12…2)

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Ok, da habe ich bisher wohl falsch gedacht. Ich war von n>1 ausgegangen.

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@mws: n=3 ist ja nicht falsch. Es ist nicht explizit nach dem kleinstmöglichen Exponenten gefragt.

Ich habe eher erwartet, dass bei dieser Fragestellung sogar eine ganze Lösungsschar angegeben werden soll.

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Achso, ich habe die x und y Werte vertauscht. Vielen Dank!

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Bitte. Gern geschehen.

Answer 2

c) Die Funktion hat die Wertemenge R und der Graph verläuft durch den Punkt S (-3/-4,5)

$$y=ax^n$$

n muss ungerade sein, damit $\mathbb R$ Wertemenge ist. Z. B. n=3

$$-4,5=a(-3)^3$$

$$-4,5=-27a$$
$$a=\frac{1}{6}$$

$$y=\frac{1}{6} x^3$$

  b) Die Funktion hat einen Hochpunkt. Der Graph verläuft durch den Punkt R (-3/-6)

Nur wenn n gerade ist, hat die Kurve einen Hoch- oder Tiefpunkt. Für a>0 → Tiefpunkt, für a<0 → Hochpunkt.

Z.B. n=2 und a<0

$$-6=a\cdot (-3)^2$$

$$-6=9a$$

$$a=-\frac{6}{9} =-\frac{2}{3}$$
$$y=-\frac{2}{3} x^2$$

a) Der Graph fällt für x < 0 und verläuft durch den Punkt Q (3/-4)

Der Graph muss durch den II. und IV. Quadranten verlaufen. Das ist für ungerade n und negative Werte a der Fall.

Z.B. n=3

$$-4=a\cdot 3^3$$

$$a=-\frac{4}{27}$$

$$y=-\frac{4}{27} x^3$$

Comments

Vielen Dank!!