Quadratische Gleichungen mit komplexen Zahlen

Question

Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichungen

a) \( z^{2}-6 z+13=0 \)

b) \( i z^{2}+5=0 \)

c) \( z^{2}+(1-i) z+\frac{i}{2}=0 \)

d) \( \left(z^{2}-1-i\right)^{2}+2 i=0 \)

Answer 1

Zu a) z²-6z+9+4=0

(z-3)²=-4

Vielleicht weiß man (2i)²=-4?

Dann ist z-3=±2i und z_1/2=3±2i

Answer 2

Hallo,

a) z^2−6z+13=0 via pq-Formel

z_1,2= 3± √(9-13)

z_1,2= 3± √-4

z_1,2= 3± 2i

b) i z^2+5=0 |-5

i z^2 = -5 |: i

z^2 = -5/i

z^2=5i

z_1.2= ± √5i  (Betrag und Winkel bilden ->Übergang zur exponentiellen Funktion)

z₁= √10/2 +i √10/2

z₂= -√10/2 -i √10/2

Umrechnung zum Ergebnis:

z₁= (5 *e^((i π)/2))^(1/2)

z₁= 5^(1/2)   *e^((i π)/2))^(1/2)

z₁=√5 ( cos(π/4) +i sin(π/4))

z₁= √10/2 +i √10/2

analog dann z2