Ist das Hasse-Diagramm zu einer partiell geordneten Menge bestehend aus den Teilern von 252 ein Verband?

Question

Aufgabe:

Es sei die partiell geordnete Menge (P_252, <) gegeben wobei P₂₅₂  die Teiler von 252 umfasst.

Ist dieses Poset ein Verband bzw. distributiver Verband?

Es soll außerdem eine Partition in Ketten und eine in Antiketten angegeben werden.

Problem/Ansatz:

Mein Hasse-Diagramm sieht folgendermaßen aus:

Meiner Ansicht nach ist das kein Verband, da z.B. 28 und 63 kein Supremum und Infimum besitzen.

Stimmt diese Annahme oder übersehe ich hier etwas?

Bezüglich der Angabe einer Partition aus Ketten / Antiketten habe ich einfach jeweils eine Partition mit allen einzelnen Teilmengen dargestellt, weil diese ja sowohl eine Antikette als auch eine Kette sind -> P = {{2},{3},{7}...} ist das so korrekt?

Answer 1

Laut Wikipedia bilden die Teiler von 60 einen Verband.

https://de.wikipedia.org/wiki/Verband_(Mathematik)#Hasse-Diagramme_f%C3%BCr_einige_Beispiele

Daher vermute ich, dass das auch für die Teiler von 252 gilt.

Dein Diagramm ist sehr unübersichtlich. Deutlicher wird es, wenn du in einer Richtung mit genau einem Primfaktor multiplizierst.

				252
			/	|	\
		84		36		126
	/	|	X		X	|	\
28		12		42		18		63
|	X		X	|	X		X	|
4		14		6		21		9
	\	|	X		X	|	/
		2		7		3
			\	|	/
				1

Comments

In deinem Diagramm gibt es keine Verbindung von 12 zu 36 und von 42 zu 126 obwohl das ja eigentlich Teiler sind, gibt es hierfür einen bestimmten Grund?

---

Die Verbindungen sind doch da. Das X soll zwei sich kreuzende Verbindungen darstellen.

Wenn man das sauber zeichnet, sieht das Diagramm wie vier Würfel aus, wobei jewils zwei nebeneinander liegen.

---

oh ok, und handelt es sich bei dem Verband außerdem um einen distributiven Verband?

---

Gute Frage. :-)

Das müsste ich erst einmal selbst recherchieren.

Distributive Verbände kann man in vielen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik finden. Distributive Verbände sind:
...
 für jede natürliche Zahl n  die Menge T_n ihrer Teiler mit der Teilbarkeit als Ordnungsrelation (also ggT und kgV als Verknüpfungen)

Obwohl ich den Begriff "Verband" noch nicht kannte, hat wikipedia geholfen.

---

Vielen Dank du hast mir sehr weitergeholfen!