Permutationsmatrix * untere Dreiecksmatrizen * invertierbare Matrix = obere Dreiecksmatrix?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass sich jede invertierbare Matrix in eine invertierbare obere Dreiecksmatrix
verwandeln lässt, indeAufgabe:

Zeigen Sie, dass sich jede invertierbare Matrix in eine invertierbare obere Dreiecksmatrix
verwandeln lässt, indem man sie zuerst von links mit invertierbaren unteren Dreiecksmatrizen
und abschließend mit einer Permutationsmatrix multipliziert.

Problem/Ansatz:

P * Bu1 * Bu2 * ...  * A = Bo

(Bu ist eine untere, Bo eine obere Dreiecksmatrix)

So verstehe ich die Fragestellung. Wenn ich aber A von links mit unteren Dreiecksmatrizen multipliziere, so erhalte ich stets eine neue Matrix, die aber keine Nullen enthält, sodass ich sie passend zu einer oberen D.m. invertieren könnte! Eine untere D.m. ist doch mal mindestens eine Einheitsmatrix. Wie soll ich denn dann insgesamt auf eine obere D.m. kommen.

Danke für jede Hilfe und LG
Ella

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Eine

Permutationsmatrix

ist mE nicht eine beliebige invertierbare Matrix. Das könnte nun etwas verwirren. 
Mit Hilfe einer Permutation kannst du eigentlich nur umordnen. Überleg dir noch, ob du da Spalten oder Zeilen oder beides umordnest, und was du brauchst.

Answer 1

A ist regulär, also existiert eine LR-Zerlegung: PA=LR mit regulären P,L,R.
P ist eine Permutationsmatrix, die durch Zeilentausch aus der Einheitsmatrix entsteht, P ist orthogonal, P^T=P^-1.
L^-1 ist auch untere Dreiecksmatrix.
Bew: zum Beispiel hier S. 5-9:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/files/personal/253/kapitel-lr.pdf
Im Folgenden halte ich mich an die Notation dieses Beweises.

Was ist jetzt das Problem?
PA=LR, also L^-1PA=R
Geht auch P'L'A=R, d.h. kann man eine geeignete Permutationsmatrix erst am Schluss dranmultiplizieren?

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"Wenn ich aber A von links mit unteren Dreiecksmatrizen multipliziere, so erhalte ich stets eine neue Matrix, die aber keine Nullen enthält,.."

I*I=I enthält jede Menge Nullen

I ist untere Dreiecksmatrix, I ist obere Dreiecksmatrix