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Die Funktionenfolge fn : [0, 1] → [0, 1] sei für alle n ∈ ℕ0 gegeben durch:

       f0(x) = 0
       fn+1(x) = fn(x) + \( \frac{1}{2} \) (x- ( fn(x)))


Wie kann ich zeigen, dass (fn) eine monoton wachsende Funktionenfolge ist?

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Untersuche \(f_{n+1}-f_n\). Zu zeigen ist, dass diese Differenz nicht negativ ist.

$$ f_{n+1}(x) = f_n(x) + \frac{1}{2} (x- ( f_n(x))^2 )\qquad |-f_n(x) $$

$$ f_{n+1}(x) - f_n(x) = \frac{1}{2} (x- ( f_n(x))^2 ) $$

Jetzt muss noch mit vollständiger Induktion gezeigt werden, dass der Term größer oder gleich Null ist.

Induktionsanfang:

\(f_0(x)=0\)

\(f_1(x)=\frac{1}{2} x\ge 0\), da \(x\in [ 0;1]\)

\(f_2(x)=0,5x+0,5( x-(0,5x^2))=x-0,125x^2=x(1-0,125x)\ge 0\)


Induktionsschritt:

\(\frac{1}{2} (x- ( f_n(x))^2 )\ge 0\) gelte für n.

Zu zeigen: Dann gilt es auch für n+1.

\(\frac{1}{2} (x- ( f_{n+1}(x))^2 )\)

...


PS: Vielleicht gibt es auch einen einfacheren Weg.

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und wie muss ich da voran gehen?^^

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