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Sei f : R5R3 f: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} die lineare Abbildung
(x1x2x3x4x5)(x1+2x2+4x3+3x43x52x1x2+x3+3x43x1+2x24x44x5) \left(\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \\ {x_{4}} \\ {x_{5}} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} {-x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}+3 x_{4}-3 x_{5}} \\ {2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+3 x_{4}} \\ {-3 x_{1}+2 x_{2}-4 x_{4}-4 x_{5}} \end{array}\right)
und sei vR3 v \in \mathbb{R}^{3} der Vektor
v=(217) v=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {7} \end{array}\right)
Bestimmen Sie alle Urbilder von v v unter f, f, d. h. alle xR5 x \in \mathbb{R}^{5} mit f(x)=v f(x)=v

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Tipp:

Mache aus der Frage ein LGS mit drei Gleichungen. Die Zeilen der Matrix der Reihe nach mit 2, -1 und 7 gleichsetzen.

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M sei die gegebene Matrix, x der 5-dim. Vektor, v der 3-dim.

Löse Mx=v

(124332039963000135) \begin{pmatrix}-1& 2 &4& 3& -3& 2 \\ 0 &3 &9 &9& -6 &3 \\ 0& 0& 0& -1& -3& 5\end{pmatrix}

Rücksub:

X5 ∈ ℝ beliebig (Man könnte auch t schreiben.)

x5 = x5

x4=-5-3x5

x3=x3 ∈ ℝ beliebig (Man könnte auch r schreiben.)

x2=16-3x3+11x5

x1=15-2x3+10x5

Alle Urbilder sind Linearkomb. der 2 Vektoren, wenn man x5=0, x3=1 und x5=1, x3=0 setzt:

Also Urbild = "Erzeugnis" von ... = < (1313150) \begin{pmatrix} 13\\13\\1\\-5\\0 \end{pmatrix} , (2527081) \begin{pmatrix} 25\\27\\0\\-8\\1 \end{pmatrix} >

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