Muss ich hier einfach nur B*A berechnen (Matrizen)?

Question

Hi, ich komme mit der Bezeichnung $B_[f]_{B},$ nicht so ganz klar. Das würde doch in diesem Beispiel einfach nur heißen, dass ich B mit A multplizieren müsste, oder?:)

Die lineare Abbildung $f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ werde mit der Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}{5} & {5} & {2} \\ {3} & {6} & {8} \\ {-1} & {0} & {1}\end{array}\right)$ ausgedrückt, das heißt
$f(x)=A x$ für alle $x \in \mathbb{R}^{3} .$ Bestimme die Matrixdarstellung $B_[f]_{B},$ wenn $B$ die Basis $B=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ ist mit
$$a_{1}=\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {5} \end{array}\right), a_{2}=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {7} \end{array}\right), a_{3}=\left(\begin{array}{l} {5} \\ {2} \\ {2} \end{array}\right)$$

VG:)

Answer 1

Aloha :)

Die Matrix $A$ erwartet rechts als Eingangsgrößen Vektoren mit Koordinaten bezüglich der Standardbasis $E$. Als Ergebnis liefert sie wieder Vektoren mit Koordinanten bezüglich der Standardbasis $E$, d.h.:

$$_EA_E=\left(\begin{array}{c}5 & 5 & 2\\3 & 6 & 8\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)$$Wir suchen nun die Abbildungsmatrix $_BA_B$ die rechts Koordinaten bezüglich der Basis $B$ erwartet und links ebenfalls Koordinaten bezüglich der Basis $B$ liefert. Die erhalten wir so:

$$_BA_B={_B\text{id}_E}\cdot{_EA_E}\cdot{_E\text{id}_B}$$Mit $_E\text{id}_B$ rechnen wir Vektoren, die bezüglich der Basis $B$ angegeben sind, in Vektoren bezüglich der Basis $E$ um. Dann lassen wir mittels $_EA_E$ die Abbildung wirken. Schließlich transformieren wir mit $_B\text{id}_E$ das Ergebnis der Abbildung wieder in den entsprechenden Vektor bezüglich der Basis $B$.

Die geordneten Vektoren $(\vec a_1,\vec a_2, \vec a_3)$ bilden die Basis $B$, ihre Koordinaten sind jedoch in der Standardbasis $E$ angegeben. Das heißt der Vektor $(1,0,0)_B$ wird auf $(4,2,5)_E$ abgebildet, der Vektor $(0,1,0)_B$ wird auf $(-1,1,7)_E$ abgebildet und der Vektor $(0,0,1)_B$ wird auf $(5,2,2)_E$ abgebildet. Die Transformationsmatrix $_E\text{id}_B$ erhalten wir also, indem wir die Basisvektoren von $B$ als Spalten in eine Matrix schreiben:

$$_E\text{id}_B=\left(\begin{array}{c}4 & -1 & 5\\2 & 1 & 2\\5 & 7 & 2\end{array}\right)$$Die inverse Matrix dazu liefert uns die Transformationsmatrix $_B\text{id}_E$ in die andere Richtung, also von der Basis $E$ zur Basis $B$. Die Berechnung der Inversen führe ich hier nicht vor, sondern gebe sie einfach nur an:

$$_B\text{id}_E=\left(_E\text{id}_B\right)^{-1}=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{c}12 & -37 & 7\\-6 & 17 & -2\\-9 & 33 & -6\end{array}\right)$$Bleibt noch die eigentliche Berechnung, von der ich auch nur das Ergebnis angebe:

$$_BA_B=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{c}12 & -37 & 7\\-6 & 17 & -2\\-9 & 33 & -6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5 & 5 & 2\\3 & 6 & 8\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4 & -1 & 5\\2 & 1 & 2\\5 & 7 & 2\end{array}\right)$$$$\phantom{_BA_B}=\left(\begin{array}{c}-209 & -217\frac{2}{3} & -127\frac{1}{9}\\94 & 100\frac{1}{3} & 55\frac{8}{9}\\194 & 197 & 120\frac{2}{3}\end{array}\right)$$