Auf Untervektorraum prüfen

Question

Aufgabe:

Prüfe auf Untervektorraum:

Ich hab U ={ (v1,v2,v2 ) € V | v1 + v2 + v3 = 0 }

und     W={ ( v1,v2,v3 ) € V | v1=v3 }

mit V = R³
Problem/Ansatz:

Ich habe mit U gezeigt das es ein Untervektorraum ist, jedoch weiß ich nicht wie ich es mit dem zweiten machen soll, da ich mir nicht sicher bin wie ich dieses W darstellen kann, ist es nun: (v1,0,v1) oder (v1,0,v3) oder (v1,v2,v3) oder (v3,0,v3) kein plan.

Und wie sehen dann meine Axiome aus? Sind die dann trotzdem gleich? Also 1. Axiom: 0€ W , 2. Axiom: (x1,x2,x3) oder müsste ich das 2.Axiom im Bezug auf W darstellen? Also (x1,0,x1) oder wie jetzt? Kann mir einer das bitte ausführloich erklären, könnte in den Prüfung drankommen.

Answer 1

wie ich dieses W darstellen kann, ist es nun: (v1,0,v1) oder (v1,0,v3) oder (v1,v2,v3) oder (v3,0,v3)

Die sind alle falsch. Richtig ist:  v2 ist beliebig, aber v1=v3, also wäre das

(v1,v2,v1).

Wenn du jetzt z.B. die Abgeschlossenheit bei + ( 1. Axiom ???) überprüfen willst,

müsstest du einfach zwei von diesem Typ addieren, etwa

(v1,v2,v1)+(w1,w2,w1) = (v1+w1,v2+w2,v1+w1).

Du siehst : 1.Komponente = 3.Komponente beim Ergebnis,

also ist dieses wieder in W.

0∈W ist wohl auch klar, und x*(v1,v2,v1) ∈ W bekommst du auch hin.

Comments

Also muss ich die Axiome bezüglich meiner Mengen darstellen?

Weil beim zweiten Axiom: wäre es ja allgemein (x,y,z) aber dadurch das ich hier eben die Gestalt: w =(v1,v2,v1) habe, muss ich das Axiom an die Gestalt des Vektors w anpassen, und damit: (x,y,x) richtig?

Und noch eine Frage: Könnte man auch : (v3,v2,v3) nehmen? dann hätte ich als Axiom: (z,y,z) richtig?

Und wirklich nochmal zu Sicherheit: Die Axiome passe ich an die Gestalt des Vektors meiner Menge an?

---

Ja genau.

Du willst ja die Axiome genau für diese Menge prüfen.