Aufgabe:
Seien \( V \) und \( W \) Vektorräume über einem Körper \( K \) und \( \psi: V \rightarrow W \) linear. Zeigen Sie:
a) Die Abbildung \( \psi^{*} \) definiert durch
$$ \psi^{*}: W^{*} \rightarrow V^{*}, \quad f \mapsto f \circ \psi $$
ist linear. Sie heißt die duale lineare Abbildung von \( \psi \)
b) Die Abbildung
$$ ^{*} : \operatorname{Hom}(V, W) \rightarrow \operatorname{Hom}\left(W^{*}, V^{*}\right), \quad \psi \mapsto \psi^{*} $$ ist linear.
c) Sei \( U \) ein weiterer \( K \) -Vektorraum, \( \eta \in \operatorname{Hom}(U, V) \) und \( \psi \in \operatorname{Hom}(V, W), \) dann gilt: \( (\psi \circ \eta)^{*}=\eta^{*} \circ \psi^{*} \)
Ich weiß, dass man Homogenität und Additivität zeigen muss. Nur leider war ich in der letzten Vorlesung krank und habe jetzt keine Ahnung, was das mit dem Dualraum auf sich hat. Wäre für jeden Lösungsvorschlag dankbar.
