Komplexe Zahlen: Gleichungen lösen am Beispiel z^5+2iz^3-z^2-2i=0

Question

Nachtrag:  habe ich mich schon an meinen Professor gewandt und er bestätigte, dass es sich hierbei um einen Fehler handelte, den er übrigens allen erzählt hat, die in der Uni waren

Folgende Aufgabe wurde uns zum lösen gestellt:

Bestimmen sie alle Lösungen der Gleichung z^5+2iz^3-z^2-2i=0

[Berichtigt 23.12.]

Problem/Ansatz:

Allgemein heißt es, man müsse Komplexe Zahlen höherer Ordnung mit der Polardarstellung lösen:

z.B.  z^5= 5+3i

       z= Fünfte Wurzel aus 5+3i

Dann einfach umformen und man wäre bei der Lösung.

Ich habe jetzt allerdings das Problem, dass ich nicht den Ansatz finde,die Gleichung so umzuformen, dass ich z.B den Satz des Nullprodukts anwenden kann.

Uns wurde der Tipp hinterlassen sinnvoll auszuklammern, ich hätte da nur die Idee beispielsweise

z^5 in z^3•z^2 umzuschreiben und so irgendetwas mit den z^3 oder z^2 auszuklammern, jedoch ohne Erfolg.

Ich hoffe, dass man mir eine möglichst ausführliche Lösung darbieten kann, zumindest den Umformungsteil damit ich von da an weiterrechnen kann.

Vielen Danke für die Hilfe!

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+z%5E5%2B3iz%5E3-z%5E2-2i%3D0

Falls du wirklich richtig abgeschrieben hast und die Fragesteller keinen Druckfehler gemacht haben.

Sieht aus wie die Lösungen einer quadratischen Gleichung zusammen mit jener einer kubischen Gleichung. Vielleicht kannst du aus der 3. "alternate form" z.B. mit der dritten binomischen Formel etwas so basteln, dass ein Produkt eines quadratischen mit einem kubischen Polynom rauskommt. Die "exakte Form" der Lösungen von WA sieht allerdings eher abschreckend aus. Die sind da wohl ziemlich abenteuerliche Wege gegangen.  

Hier zum Vergleich noch die gerundeten Lösungen von WA.

 

Alternate forms:

\( z^{5}+3 i z^{3}-2 i=z^{2} \)
\( z^{5}+3 i z^{3}-z^{2}=2 i \)
\( z^{2}\left(z^{3}+3 i z-1\right)-2 i=0 \)

Complex solutions:

\( z \approx-1.22188+1.2835 i \)
\( z \approx-0.4412+0.712225 i \)
\( z \approx-0.439906-0.787234 i \)
\( z \approx 0.881564-0.0360967 i \)
\( z \approx 1.22142-1.17239 \)

Sicher, dass in der Fragestellung nicht bloss nach der Anzahl der (reellen oder komplexen) Lösungen gefragt ist?

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Ich zitiere "Bestimme alle Lösungen der Gleichung"

Erstes Semester Höhere Mathematik. Einstieg in die Komplexen Zahlen.

Da sieht man wo man bleibt.

Erstmal danke für die Antwort ich schau mir das Morgen an :)

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Wegen des Satzes von Abel, liegt wahrscheinlich doch ein Abschreibfehler vor, vielleicht schon von der Sekretärin, die die Aufgabe abgetippt hat.

2 Möglichkeiten: am Ende -3i oder am Anfang +2i, dann gehts.

Ich leg mich mal fest: Es heißt +2iz^{3}

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Bitte. Vernetze dich bitte mit deinen Kommilitonen für den Fall, dass da wieder einmal ein Fehler auf dem Übungsblatt ist.

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Entweder man sollte die Frage rausnehmen oder bearbeiten, sodass die richtige Gleichung hier steht.

Es ist nämlich wirklich 2iz^3 gewesen und nicht 3iz.

War wohl ein dummer Einzelfall gewesen :)

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Ich glaube, diese Berichtigung wurde inzwischen vorgenommen. Oder?

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Ja kurz nach meinem Kommentar :)

Vielen Dank nochmal dafür und frohe Festtage

Answer 1

Hallo,

z^5+2iz^3-z^2-2i=0

1 .Ermittung von z₁ =1  durch Raten

2. HORNERSCHEMA:

---->

z^4 +z^3+ (2i+1) z^2 +2iz +2i =0

z^4 +z^3+ (2i+1) z^2 +2i(1 +z) =0

Faktorisieren:

(z^2+2i)(z^2+z+1)=0

3. Satz vom Nullprodukt:

z^2+2i =0 und

z^2+z+1=0

Lösung:

z₁=1

z₂= -1+i

z₃=1 -i

z₄= -1/2 + i √3/2

z₅= -1/2 - i √3/2

Comments

Das Hornerschema hab ich tatsächlich noch nicht gekannt.

Das sollte in der Schule gelehrt werden, bzw. falls es gelehrt werden sollte wurde es bei mir nicht gelehrt.

Danke für die Info ^^

Answer 2

\( z^5+2iz^3-z^2-2i = 0 \)

\( (z^2+2i)z^3-1(z^2+2i) = 0 \)

\( (z^2+2i)(z^3-1) = 0 \)

\( (z^2+2i)(z-1)(z^2+z+1) = 0 \)

(1) \( (z^2+2i) = 0 \)

(2) \( (z-1) = 0 \)

(3) \( (z^2+z+1) = 0 \)