Question

Folgende Gleichung muss nach z aufgelöst werden "e^{6iz}+e^{4iz}-e^{2iz}-1=0". Wie gehe ich da vor?

Die Lösung ist z= pi / 2  +pi*k  (k e Z)

Doch der Weg dahin ist mir bis jetzt noch nicht klar.

Comments

Die Lösung z=0 liegt auf der Hand, steht aber nicht beim Lösungsvorschlag.

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Ich muss dann wohl vorher schon etwas falsch haben, da nach der Probe

sin(0)/sin(3*0)  nicht -1 rauskommen kann

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Deine Probe ist falsch. Die Beispiellösung war richtig, bis auf z = 0.

Answer 1

deinen Lösungsweg folgend ergibt sich:

$$ sin(z)=-sin(3z)\\  e^{iz}-e^{-iz}= -(e^{iz})^3+(e^{-iz})^3\\w-\frac { 1 }{ w }=-w^3+\frac { 1 }{ w^3 }\\w^4-w^2=-w^6+1\\w^6+w^4-w^2-1=0\\q^3+q^2-q-1=0\\(q-1)(q+1)^2=0\\q=1\\w^2=1\\e^{2iz}=1\\z=\pi n\\q=-1\\w^2=-1\\e^{2iz}=-1\\z=\pi/2+\pi n  $$

Answer 2

Substituiere: z= e^{2lz}

z^3+z^2-z-1=0

Polynomdivision, 1.Nullstelle raten

Comments

Kurz mal angemeldet, Ich fang am besten mal von vorne an:

Folgende Aufgabenstellung:

sin(z) = a * sin(3z)   , a= -1   , Löse nach z auf

Meine Rechnung bisher:

sin(z) = -1 * sin(3z)                    /(sin3z)

sin(z)/sin(3z) = -1

(e^{iz}-e^{-iz} / 2i) / (e^{i3z}-e^{-i3z} / 2i) = -1            Subst.: e^{iz} = w

((w- 1/w) / 2i) * (2i / (w³ - 1/w³)) =  -1                          Multiplizieren und 2i kürzen

(w- 1/w) / (w³ - 1/w³) = -1                                           *(w³ - 1/w³)      rüberholen

(w- 1/w) = (-w³ + 1/w³)                                                *w³   Bruch auflösen

w^4 - w² = -w^6 + 1                                                    Rechts Seite rüber

w^6 + w^4 - w² -1 = 0                                                Subst auflösen

e^{6iz}+ e^{4iz} - e^{2iz} -1 = 0

Ab hier der Tipp: hab mit q substituiert weil es sonst noch unübersichtlicher wird

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q³ + q² - q -1 = 0                                       Subst: q= e^{2iz} , eine Nullstelle ist -1

q³ + q² - q -1 : (q+1) = q²-1

q²-1  -> e^{i4z} -1

e^{i4z} = 1                                                          ln()

i4z = ln(1)

i4z = 0                                                              Ab hier fraglos :D

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z=e^{2iz} ist eine ungünstige Variablenbezeichnung.