Differenzierbarkeit / Stetigkeit einer Verkettung von Funktionen

Question

Hallo,

Ich habe einige Zweifel bei Differenzierbarkeit und Stetigkeit. Die Aufgabe lautet:

Seien f: R->R und g:R->R Funktionen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch? Begründen Sie ihre Antwort.
a) \( f \cdot g \) differenzierbar in \( x_{0} \Rightarrow f \) stetig in \( x_{0} \) oder \( g \) stetig bei \( x_{0} \)
b) \( f \cdot g \) nicht stetig in \( x_{0} \Rightarrow f \) nicht stetig in \( x_{0} \) oder \( g \) nicht stetig in \( x_{0} \)

 Ich würde sagen a) ist falsch weil wenn \( f \cdot g \) differenzierbar ist, dann sind beide f und g stetig.

Bei b) bin ich nicht sicher. Ist es wahr oder falsch? und warum?

Vielen Dank im Voraus,

Diana

Comments

"Ich würde sagen a) ist falsch weil wenn f⋅g differenzierbar ist, dann sind beide f und g stetig."

Es heißt oder, nicht entweder-oder.

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Dann ist a) richtig?

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a) Wähle z.B. \(f(x)=g(x)=\begin{cases}-1\text{, falls }x\le x_0\\+1\text{, falls }x>x_0\end{cases}\).

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@ Spacko: Klasse Beispiel!

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ich komme noch nicht klar, sorry! ist a) richtig oder falsch?

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Spacko hatte ein Beispiel, das zeigt, dass die Aussage a) falsch ist.

Die angegebene Funktion ist bei  xo nicht stetig, aber

das

Produkt f*g ist konstant gleich 1 also überall differenzierbar.

Answer 1

b)  ist OK.

Verwende die Kontraposition:

Du hast eine Beh. der Form

nicht A ==>   (nicht B) v (nicht C)

Kontrapos. gibnt

nicht (      (nicht B) v (nicht C)  )   ==>   nicht ( nicht A )

also kurz

         B ∧ C ==>  A

und das ist die bekannte Aussage:

f stetig in xo und g stetig in xo ==>  f*g stetig in xo.