Topologische Grundbegriffe: Abgeschlossen, Durchschnitt, quer, abgschlossene Hülle

Question

Heyy Leute 

Für  N = {B ⊃ A | B abgeschlossen} gilt
A=∩ B (wobei B∈N) (über A ein Strich)

Meine Idee : erstmal die Teilmenge von links nach rechts :
also zu zeigen ist, dass A (ein strich drüber) eine Teilmenge vom Durchschnitt B ist wobei B∈N
sei also x∈A (drüber strich) ⇒ x∈AυH(A) daraus folgt, dass das eine abgeschlossene Hülle ist und diese die Menge B⇒B∈N
also nimmt B am Durchschnitt teil und da  A⊂B und x∈A gilt , dass x∈∩B (wobei B Element aus N 

das wäre so mein Beweis aber bin mir sicher dass ich hier gedankenfehler gemact habe würdet ihr das auch so beweisen ? 

Answer 1

N={B⊃A I B abgeschl.} ⇒ \( \bar{A} \) = \( \bigcap\limits_{B \in N} B \)

heißt:

Satz: Sei N={\( \bar{B} \) I A ⊂ \( \bar{B} \)} , dann gilt: \( \bar{A} \) = \( \bigcap\limits_{ \bar{B}  \in N} \bar{B} \)

zunächst gilt (1): \( \bar{A} \) ∈ N, da A ⊂ \( \bar{A} \)

außerdem gilt (2): A ⊂ \( \bar{B} \) ⇒ \( \bar{A} \) ⊂ \( \bar{B} \) ,

                             denn wenn \( \bar{A} \) ⊄ \( \bar{B} \) ⇒ \( \exists \) x∈ \( \bar{A} \): x ∉ \( \bar{B} \)

                                                          ⇒ \( \exists \) x∈ \( \bar{A} \): x ∈ \( \bar{B} \) ^c    (Komplement)  Widerspruch!

                                                        

Bew. des Satzes:

"⊂": Sei x∈ \( \bar{A} \) ⇒⁽²⁾ x ∈ \( \bar{B} \) \( \forall\) \( \bar{B} \)∈N ⇒ x ∈\( \bigcap\limits_{ \bar{B}  \in N} \bar{B} \)

"⊃": Sei  x ∈\( \bigcap\limits_{ \bar{B}  \in N} \bar{B} \) ⇒ x ∈ \( \bar{B} \) \( \forall\) \( \bar{B} \) ∈N ⇒⁽¹⁾ x∈\( \bar{A} \)