Topologische Grundbegriffe - Frage zum Zusammenhang offen und Element von T (tau).

Question

In einem Buch steht: 

Die offenen Mengen sind genau die Elemente der Topologie. Die Eigenschaft offen zu sein, ist somit nicht aboslut, sondern hängt vom betrachteten topologischen Raum ab. 
Eine Teilmenge von X, welche in einem topolpgischen Raum (X,T₁) offen ist, braucht nicht notwendigerweise auch in einem anderen topologischen Raum (X,T₂) offen zu sein. 

Problem/Frage:

Kann mir jemand helfen dies zu verstehen, ich schildere was ich verstanden habe und wäre unendlich dankbar wenn jemand meine Gedanken prüfen und kommentieren könnte. Sprich: Kann mich jemand korrigieren ? 



Ich lege los, und
seziere mal den obigen Abschnitt. 

Die offenen Mengen sind genau die Elemente der Topologie.

Verstanden, denn die Elemente einer Topologie heissen offene Mengen. 

Die Eigenschaft offen zu sein, ist somit nicht absolut, sondern hängt vom betrachteten topologischen Raum ab.

Erstens, dieser Satz bezieht sich auf Elemente von T (tau), Wenn die Elemente von Tau wirklich Elemente von Tau sind, dann sind sie nach Definition offen: "Die Elemente der Topologie T heissen offene Mengen."

Meine Vermutung sagt mir, dass gilt, dass sobald eine Menge ein Element von T (tau) ist, diese Menge offen ist. 

Wie kann diese Eigenschaft offen zu sein dann von einem topologischen Raum abhängen wenn das einzige Kriterium,
was sie erfüllen muss ist, dass sie Element von T (tau) ist?

Okay, zur Beantwortung der Frage, schaue ich noch mal was ein topologischer Raum ist. 
--> Das Tupel (X,T) heisst topologischer Raum. 

Das heisst ich brauche eine Grundmenge X und eine Topologie T auf X.
Die Topologie T auf X ist eine Teilmenge der Potenzmenge von X mit drei Eigenschaften: 

(1) Leere Menge und X sind Elemente von T
(2) der Durchschnitt einer endlichen Anzahl von Elementen von T ist wieder ein Element von T. 
(3) beliebige Vereinigungen von Elementen von T ist wieder ein element von T. 

Eine Teilmenge von X, welche in einem topolpgischen Raum (X,T₁) offen ist,..... 

Eine Teilmenge von X, welche, sagen wir im topologischen Raum (X,T₁) offen ist.
(Einschub:) Aha ! Diese Teilmenge von X könnte, wenn ich es richtig verstanden habe ein Element von der Topologie T₁ sein. Deswegen heisst diese Teilmenge von X ja offen. 
Vielleicht impliziert es das sogar, weil sie ja offen ist und demnach ein Element von T₁ ist ?

 

....braucht nicht notwendigerweise auch in einem anderen topologischen Raum (X,T₂) offen zu sein.

Dieser Satz sagt dass, wenn eine Menge ein Element von T₁ ist, (Wir betrachten die Grundmenge X), heisst es nicht, dass diesselbe Menge, auch Element von einer Topologie T₂ ist (so wäre sie auch in T₂ wiederum offen) obwohl wir immernoch die Grundmenge X betrachten. 



Das heisst unter dem Strich, 
Wenn wir einen topologischen Raum (X,T) gegeben haben und eine offene Menge A Element von T ist, 
heisst es nicht, dass A in der Menge X immer (absolut) offen ist. Obwohl A eine Teilmenge von der Grundmenge X ist. 
Offen zu sein ist unabhängig von der betrachteten Grundmenge,
sondern hängt davon ab wie eine Topologie gewählt ist:

Beispiel:
Ist X eine Grundmenge und eine Menge A ⊆ X Element einer Topologie T, ist sie genau auf diesem topologischen Raum (X,T) offen. 

Gegenbeispiel:
Ist X eine Grundmenge und eine Menge A Teilmenge von X aber nicht Element der Topologie T₂, so ist A, obwohl wir uns noch immer in derselben Grundmenge bewegen nicht offen. 

Fazit:
Das Zeigt, dass die Eigenschaft offen zu sein, nicht davon Abhängt, auf welcher Grundmenge wir uns befinden, sondern wie der topologische Raum, der Aus einer Grundmenge und einer Topologie besteht,  aussieht.  
Insbesondere vermute ich, dass die Eigenschaft offen zu sein oder nicht-offen zu sein von der Topologie T abhängt. 

 

Answer 1

Dein letztes Fazit trifft den Nagel auf den Kopf.

Beispiel :  ℝ mit der Standardtopologie (Jeder Punkt enthält eine ganze Umgebung von sich).

Da ist z.B. das Intervall ] 0 ; 1 [ offen.

Aber     ℝ  mit der Topologie, die nur aus  ℝ und der leeren Menge besteht:

Da ist das Intervall keine offene Menge.

Comments

Super, Ich versuche das mal: 

ℝ ist die Grundmenge versehen mit der
Standardtopologie, ich nenne sie S (Ich weiss nicht was eine Standardtopologie ist, vielleicht gehts aber trotzdem) 

Dann ist das Tupel ( ℝ , S ) ist ein topologischer Raum .

Okay, S = {∅ , ℝ } (Ich glaube dass ist die triviale Topologie) 

Ich betrachte das Intervall A =  ]0;1[.
Ich sehe A ist grundsätzlich mal eine Teilmenge von ℝ. 
Aber damit A offen ist, muss A Teilmenge von S sein. 

Da aber A ⊄ S = {∅ , ℝ} ist, ist A nicht offen. 


Gegenbeispiel: 

Sei ℝ wie oben und hypothetisch die Topologie S₂ = { ∅, ]0;1[ , ℝ } 
Wir betrachten wieder das Intervall A =  ]0;1[.

Diesmal gilt, A ⊂ S₂ = { ∅, ]0;1[ , ℝ } .

Somit ist A offen. 

Fazit: 
A ist offen bezüglich der Topologie ( ℝ , S₂ ).
A ist nicht offen bzgl. der Topologie ( ℝ , S ).

Hier sehen wir wieder, dass die Eigenschaft ob A offen ist nicht direkt von der Grundmenge ℝ abhängt, sondern davon wie die Topologie S_i i={1,2} gewählt ist.  

 

Answer 2

  Hier ganz ganz einfaches Beispiel. Weißt du schomn, was ein metrischer Raum ist? Z.B. die Ebene R ² oder der Raum R ³  : In R ² sind z.B. alle ( offenen)  Kreise offen

      ( x - x0 ) ² + ( y - y0 ) ² <  R ²      ( 1 )

     In R ³ sind sie es NICHT . Warum?  Kugelumgebungen in R ³ wären etwa

        ( x - x0 ) ² + ( y - y0 ) ²  + ( z - z0 ) ² = R ²     ( 2 )

    folgender Test: In der R³-Topologie passt keine Kugelumgebung ( wie klein du R auch immer wählst ) in den Kreis ( 1 ) hinein;  etwa einen Punkt mit Koordinaten ( 0 | 0 _ 1 ) kannst du nicht einpassen.

  Typisches Kennzeichen offener Mengen: sie bestehen nur aus inneren Punkten; zu jedem Punkt findest du eine lokale Umgebung.

Comments

Vielen Dank auch dir cookiemonster !

Ich habe das noch nicht so gehabt aber
metrische Räume kenne ich. I

ich glaube ein metrischer Raum (X.d) ist ein e Grundmenge X mit der Distanzfunktion d und den drei erfüllten Bedingungen: 

(1) Positive Definitheit: 
      d(x,y) > 0 und d(x,y) = 0 ⇒ x=y.
(2) Symmetrie
      d(x,y) = d(y,x).
(3) Dreiecksungleichung
      d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

Das mit den Bällen und Umgebungen und Punkten muss ich noch anschauen....

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Also ich habe etwas gefunden:

Eine Teilmenge U ⊆ ℝ heisst offen, 
falls für jedes x∈U ein ε>0 existiert mit 

B(x,ε) = ( x-ε , x+ε ) ⊆ U. 


Ich versuche das mal zu verstehen: 

Wir bewegen uns in IR.
Wir betrachten einen Punkt x in IR. 

Auf diesen Punkt x wenden Wir die "Funktion" B an. Und erhalten dadurch eine Epsilon-Umgebung um den Punkt x, diese Epsilon-Umgebung ist wiederum ein Intervall.
Weiter soll ε>0 sein:

B(x,ε) = ( x-ε , x+ε ). 

Nun soll diese Epsilon-Umgebung (Intervall) in U enthalten sein damit wir von einer offenen Teilmenge sprechen können. 


Ich schätze ich verstehe das noch nicht... 
Wäre nice wenn du bei Zeit mir diese Art von offen erklären könntest. 

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  Für das Thema Topologie empfehle ich dir das Franzbändchen ( Franz / Frankfurt )

  Topologie ist ungeheuer intuitiv; die

Axiomatik hab ich im Augenblick aber nicht so drauf. Ist schon zu lange her.

  Es gilt immer der Satz: O ist offen genau dann, wenn es zu jedem x € O eine offene  Menge bzw. Umgebung U ( x ) gibt, die Teilmenge von O ist.

   Hast du mein Beispiel mit Kreisen und Kugeln verstanden?

   Macht Internet dumm? Überall steht positive Definitheit; d ( x ; y ) > = 0.

   Hast du schon mal eine negative Distanzfunktion gesehen; muss man da irgendwas " verhindern " ?  Mein Daddy, der eine Zeit lang für die Luftwaffe schaffte, kannte einen General

   " Haltensich an die Karte; der Blick in die Natur verwirrt nur. "

   Genau so hier. Löse dich von der Anschauung; schließlich müssen Axiome unabhängig sein.

   Einem Vorschlag aus dem Internet folgend, BEWEISE ich  d ( x ; y ) > = 0    (V)    x ; y .

    0 = d ( x ; x )   < =    d ( x ; y ) + d ( y ; x )   ( Dreiecksungleichung )   ( 1 )

     d ( x ; y ) + d ( y ; x )  = 2 d ( x ; y )    ( Symmetrie )   ( 2 )

       ( 2 ) eingesetzt in ( 1 ) führt auf meine Behauptung.

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  Weil du sagst, du verstehst das noch nicht. Metrische Räume gehen doch ganz einfach. In R ² sind offene Kreise ( Rand lose Kreise ) offen; in R ³ sind es offene Kugeln. Und in R ^4 wären es offene Hyperkugeln. D. h. alle Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt M kleiner ist als € .

   Und in R = R ^1  sind offene Kugeln das selbe wie offene € - Intervalle . Oder ist da noch etwas unverständlich?

   Rein theoretisch müsstest du durch Rechnung beweisen, dass all diese Kugeln tatsächlich offen sind; das ist sicher eine nette Hausaufgabe. Aber weit wichtiger ist, dass du es verstehst; dass du einen Plan im Kopf hast.

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Wow, danke ,dass du das erwähnt hast, ich habe soeben weitergeblättert und gesehen,d ass genau dieses Thema im nächsten Kapitel behandelt wird. Danke !

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  Ich hab nochmal überlegt; ich glaube, auch das solltest du wissen. In Algebra waren doch " Gruppen " dran; und da hat man dir gesagt, zwei Gruppen G und G ' sind im Wesentlichen das selbe, wenn sie isomorph sind. Wenn es also einen Homomorphismus f : G ===> G  '  gibt; und die Abbildung f ist umkehrbar.

   Im Franzbändchen findest du an prominenter Stelle: Zwei topologische Räume T1 und T2 sind " homöomorph "  ( ganz komisches Wort für Äquivalent oder Isomorph )  wenn es eine Abbildung f : T1 ===> T2 gibt

 1) f ist stetig

  2) f ist umkehrbar

  3) Auch f ^ -1  ist stetig .

    Und jetzt zu deiner Frage nach den offenen Mengen. Angenommen ich habe einen topologischen Raum T1 ; und auf T1 mache ich jetzt eine zweite Topologie T2 auf. T1 und T2 sind homöomorph  <===>  Es gelten die beiden folgenden Aussagen:

    1) In jede ( offene ) Umgebung U ( T1 ) lässt sich eine Umgbung U ( T2 ) einbeschreiben.

     2) In jede Umgebung U ( T2 ) lässt sich eine Umgbung U ( T1 ) einbeschreiben.

    Betrachten wir dochmal zwei Beispiele unter diesem Aspekt.  Sind R ² und  R ³  homöomorph?

  JEDER Kugel lässt sich ein ( beliebiger ! ) Kreis einbeschreiben.

   KEINEM Kreis lässt sich eine Kugel einbeschreiben. also nein.

   Nächstes Beispiel; die euklidische Norm

    d_euk ( x ; y ) := [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² ] ^1/2        ( 2.1 )

   (  In einem metrischen Raum sind die Umgebungen immer die €-Kugeln; daher diese ewigen Epsilons in der Analysis. )

    Kenst du schon die New_York_Metrik? Du ermittelst praktisch die Differenz an Straßen und Avenues.

     d_NY ( x ; y ) :=  | x2 - x1 |  + | y2 - y1 |      (2.2  )

    In ( 2.2 ) sind die €_Kugeln ja in wirklichkeit Rechtecke, wo die Summe ihrer vier Seiten kleiner bleibt als 2 € .

     Sind die Topologien T_Euk und T_NY homöomorph? Ja; denn in jeden Kreis lässt sich ein Rechteck einbeschreiben ( und umgekehrt. )  D.h. in BEIDEN   Topologien hast du die SELBEN offenen Mengen bzw. Umgebungen.