Unbestimmtes Integral von gebrochener Funktion f(x)= (2x2 - 8)/(x-2)

Question

Aufgabe:

l) $$\int \frac{2x^2-8}{x-2} \,\text dx$$

Problem/Ansatz:

Wie bildet man von dieser Funktion die Stammfunktion? Ich kann auch den Formansatz nicht benutzen, weil ich nicht weiß wie man die Funktion ableiten würde bzw. welchen Ansatz man dann wählen würde

Answer 1

Aloha :)

$$\int\frac{2x^2-8}{x-2}\,dx=\int\frac{2(x^2-4)}{x-2}\,dx=\int\frac{2(x+2)(x-2)}{x-2}\,dx=\int2(x+2)\,dx$$$$=\int\left(2x+4\right)\,dx=x^2+4x+\text{const}$$

Answer 2

Hallo Sandra,

Du kannst den Ausdruck stark vereinfachen: $$\frac {2x^2-8}{x-2} = 2 \frac{x^2-4}{x-2} = 2 \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = 2(x+2)$$und dann wird's doch einfach:$$\int 2(x+2)\, \text dx = x^2 + 4x + C$$Gruß Werner

Comments

Du warst schneller :)

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Du warst schneller :)

das war nur Glück.

Frohe Weihnachten!

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Danke, dir auch ein Frohes Fest :)Ich muss noch bis 16:00 Uhr auf Christkind warten... dann fällt die Familie bei uns ein.

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Vielen Dank, jetzt macht‘s Sinn! :) Ist das eine bestimmte Regel die man da anwendet?

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Ist das eine bestimmte Regel die man da anwendet?

Na ja - mit Erfahrung sieht man das einfach. Als Regel kann man sich aber merken: Grundsächlich sind Produkte einfacher 'zu durchschauen' als Summen. Wenn man also den Ausdruck $2x^2-8$ vor sich hat, kann man getrost die $2$ ausklammern: $$2x^2 - 8 = 2 \cdot (x^2 - 4)$$entweder siehst Du dann, dass $x^2-4$ die 3.binomische Form ist - oder eben nicht.

Wenn nicht dann kannst Du bei Ausdrücken wie $$\int \frac{p(x)}{q(x)} \,\text dx$$($p(x)$ und $q(x)$ sind Polynome) immer versuchen das eine durch das andere zu dividieren; auch wenn ein Rest übrig bleibt. Im 'schlimmsten' Fall kannst Du auch folgendes machen: $$\int \frac{2x^2-8}{x-2}\,\text dx = \int \frac{2x^2}{x-2}\,\text dx - \int \frac{8}{x-2} \,\text dx$$und für den ersten Term$$\int \frac{2x^2}{x-2}\,\text dx = \int 2x +4 + \frac{8}{x-2}\, \text dx$$usw.

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Vielen Dank!

Answer 3

Hallo,$$\int_{}^{}\frac{2x^2-8}{x-2} \, dx=2\int_{}^{}\frac{x^2-4}{x-2} \, dx=2\int_{}^{}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \, dx=2\int_{}^{}(x+2) \, dx=2\left(\frac{1}{2}x^2+2x\right) =x^2+4x+C \quad , C\in \mathbb{R}$$