Gruppe bzw. Untergruppen von Ganzen Zahlen: für n∈ℕ sei nℤ:={n⋅k|k∈ℤ}.

Question

kann mir jemand Zeigen wie ich folgende Aufgabe lösen kann:

(G,∘) ist eine Gruppe. Eine unleere Teilmenge U von G heißt Untgergruppe von G, wenn für alle x,y∈U auch das Element x∘y sowie das Inverse x−1∈U liegen.

Es sei nun (ℤ,+) die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Additon als Verknüpfung, und für n∈ℕ sei nℤ:={n⋅k|k∈ℤ}.

Wie kann ich Zeigen, dass nℤ eine Sub-Gruppe von ℤ ist?

Sind die geraden Zahlen oder ungeraden Zahlen eine Sub-Gruppe von ℤ ?

Vielleicht kann sich der Aufgabe einer annehmen...
 

Answer 1

Seien n∈ℕ beliebig, aber fest und U:={nz| z∈ℤ} ⊆ℤ ist mit der gewöhnlichen Addition eine Untergruppe von (ℤ, +)
U nicht-leer, klar!

seien u,g∈U ⇒ ∃ x,y∈ℤ s.d. u=nx, g=ny ⇒ u+g=nx+ny=n(x+y) mit x+y∈ℤ, da (ℤ, +) ja nach Voraussetzung eine Gruppe ich, also u+g∈U

da -1∈ℤ ist (-n)=n(-1)∈U ⇒ zu jedem u=nx∈U ist -u=(-n)x∈U

also ist U Untergruppe

Comments

Vielen Dank für Deine Antwort

Mir ist leider noch nicht ganz klar, wie ich damit Beweise, dass nℤ eine Untergruppe von ℤ ist und gilt das nun für die geraden oder ungeraden Zahlen?

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das ist ein Beweis dafür, dass nℤ=:U eine Untergruppe von ℤ ist und zwar für alle n∈ℕ, also insbesondere f"ur 2, 2ℤ sind alle geraden Zahlen

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Könnntest Du das "ist mit der gewöhnlichen Addition eine Untergruppe von (ℤ, +)" nochmal genauer ausführen?

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Das ist zu zeigen, du nimmst dir nℤ als Menge und die Addition soll genau so funktionieren, wie in (ℤ, +)

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Kannst Du mir zeigen, wie das geht?

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Meinst Du das damit?

a+b∈nℤ:z+z=2z∈nℤ
nz+nz = 2nz in nℤ
(n+1)z+(n+1)z=2z(n+1)= 2nz+2z in nℤ

Aber wie beweise ich konkret damit, dass es sich um eine Untergrupppe von ℤ handelt?

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Also, alle Elemente aus U sind Produkte von dem fest gewählten n und irgendeiner ganzen Zahl.

Dann nimmst du zwei solche Elemente beliebig aus, d.h. es ist egal welche ganze Zahl da drinsteckt, die kannst du addieren und dann stellst du diese Summe so um, dass sie wieder wie ein Produkt von n mit irgendeiner ganzen Zahl aussieht, damit liegt sich nach Definition wieder in U und U ist abgeschlossen gegenüber Addition, dann zeigst du auf gleiche weiße, dass auch zu jedem Element in U auch das Inverse in U liegt. Dann bist du fertig.

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Meinst du das etwa so:

8,6 in U

8+6=14

n*7=14 für n =2 => Somit wieder in Defition von U.

korrekt?

Wie bweise ich, dass zu jedem U auch das Inverse in U liegt?

-8,-6 in U

-8+(-6)=-14

n*-7=-14 für n =2 => Somit wieder in Defition von U.

Ist das richtig?!