Zeige Sie, dass für alle n\in\mathbb{N}\setminus\left\{0\right\} gilt
Aufgabe:
Zeigen Sie, dass für alle $$n\in\mathbb{N}\setminus\left\{0\right\}$$ gilt:
$$\sum \limits_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{k}\geq \frac{n}{2}$$
Problem/Ansatz:
Der Induktionanfang und die Induktionsannahme sind trivial. Für den Induktionsschluss habe ich nun folgendes überlegt:
$$\sum \limits_{k=1}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k}=\sum \limits_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{k}+\sum \limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k}\geq \frac{n}{2}+\sum \limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k}\geq \frac{n}{2}+\frac{1}{2}$$
Dafür muss ich jedoch zeigen, dass $$\sum \limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k}\geq\frac{1}{2}$$ gilt. Die Summe auf der linken Seite der Ungleichung enthält aber gerade $$2^n$$ Summanden:
$$\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}+1}+\frac{1}{2^{n}+2}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}-2}+\frac{1}{2^{n+1}-1}$$
Text erkannt:
ssisum an
as \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and
Für dieser Summe mit streng monoton fallenden Summanden gilt:
$$\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}+1}+\frac{1}{2^{n}+2}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}-2}+\frac{1}{2^{n+1}-1}\leq \frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}}=2^n\cdot\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}$$
Reicht das schon oder muss ich noch weiteres zeigen?
Text erkannt:
ssisum an
as \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) an$$
