0 Daumen
506 Aufrufe

Zeige Sie, dass für alle n\in\mathbb{N}\setminus\left\{0\right\} gilt

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle $$n\in\mathbb{N}\setminus\left\{0\right\}$$ gilt:

$$\sum \limits_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{k}\geq \frac{n}{2}$$

Problem/Ansatz:

Der Induktionanfang und die Induktionsannahme sind trivial. Für den Induktionsschluss habe ich nun folgendes überlegt:

$$\sum \limits_{k=1}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k}=\sum \limits_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{k}+\sum \limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k}\geq \frac{n}{2}+\sum \limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k}\geq \frac{n}{2}+\frac{1}{2}$$

Dafür muss ich jedoch zeigen, dass $$\sum \limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k}\geq\frac{1}{2}$$ gilt. Die Summe auf der linken Seite der Ungleichung enthält aber gerade $$2^n$$ Summanden:

$$\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}+1}+\frac{1}{2^{n}+2}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}-2}+\frac{1}{2^{n+1}-1}$$

Text erkannt:

ssisum an
as \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and

Für dieser Summe mit streng monoton fallenden Summanden gilt:

$$\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}+1}+\frac{1}{2^{n}+2}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}-2}+\frac{1}{2^{n+1}-1}\leq \frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}+\ldots+\frac{1}{2^{n+1}}=2^n\cdot\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}$$

Reicht das schon oder muss ich noch weiteres zeigen?

Text erkannt:

ssisum an
as \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) and \( x_{1} \) an$$

Avatar von

Dein Relationszeichen hat die falsche Richtung.

Das Relationszeichen muss natürlich einen größer gleich sein im letzten Schritt. Aber sonst ist die Rechnung korrekt oder?

1 Antwort

+2 Daumen

Aloha :)

Die 2er-Potenz als obere Grenze ist sehr verdächtig. Daher schlage ich vor, den Beweis nicht mittels vollständiger Induktion zu führen, sondern wie folgt:

$$\sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k}=-\frac{1}{2^n}+\sum\limits_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}=-\frac{1}{2^n}+1+\sum\limits_{k=2}^{2^n}\frac{1}{k}=\sum\limits_{k=2}^{2^n}\frac{1}{k}+\underbrace{\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}_{\ge0}\ge\sum\limits_{k=2}^{2^n}\frac{1}{k}$$$$=\underbrace{\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)}_{n\text{ Klammernpaare}}$$$$\ge\underbrace{\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^n}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)}_{n\text{ Klammernpaare}}$$$$=\underbrace{\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2}\right)}_{n\text{ Summanden}}=\frac{n}{2}$$

Avatar von 148 k 🚀

Vielen Dank! Da fehlt mir einfach noch die Erfahrung und so etwas zu erkennen. Aber in Zukunft habe ich wieder eine Methode mehr. Danke

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community