Extremstellen berechnen und Tangentialebene angeben

Question

Hey ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr richtig weiter..

Es geht um die Funktion: f(x,y)=\( \sqrt{1-x^2 -y^2} \)
a) Berechnen Sie alle durch den Gradienten auffindbaren Extremstellen
von f(x,y) und geben Sie dort die Tangentialebene in der Form an:
b) Was ist die steilste Steigung einer Tangente im Punkt (1/2, 1/2)?
c) Wie verläuft die waagerechte Tangente im Punkt (1,0)?

Ich habe alle Partiellen Ableitungen gebildet, aber nun komme ich nicht mehr richtig weiter beim Extrempunkt bestimmen.

ich habe nämlich \( fy=-(\frac{y}{\sqrt{1-x^2 -y^2} } \)) . Ich habe keinen Schimmer, wie ich nun nach x oder y umstellen soll..

Um die Tangentialebene zu bilden muss ich ja Normalform ausmultiplizieren.

bei b) weiß ich ehrlich gesagt nicht wie ich das herausfinden soll, setze ich in die Tangentialebene die Punkte ein?

bei c) versteh ich die Frage nicht ganz, sie küsste doch die Steigung 0 haben? Oder stell ich mich dumm an?

Ich bin Dankbar für jede Hilfe:)

Comments

Bei a) ist die Tangentialebene offensichtlich z=1 aber in welcher Form soll es angegeben werden? Du hast den Satz nicht vollständig abgetippt.

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Ja tut mir Leid habe ich vergessen einzutippen. Man soll die Tangentialebene in der Form a*x+b*y+c*z=d angeben, wie erkennst du es denn das die Ebene z=1 sein muss ( da es eine Extremstelle ist?)

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Die angegebene Funktion ist eine Halbkugel, die auf der x-y-Ebene liegt, mit Radius 1. Der oberste Punkt hat also den z-Wert 1. Die Tangentialebene dort ist eine waagerechte Ebene, parallel zur x-y-Ebene, mit z=1. Das ist dann auch die Ebenengleichung.

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Danke sehr, hat mir geholfen :)

Answer 1

Hallo,

a)

sei \(f(x,y)=\sqrt{1-x^2 -y^2}\), dann ist \(\text{grad } f(x,y)=\begin{pmatrix} -\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\\-\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \end{pmatrix}\). Als notwendiges Kriterium für das Vorhandensein vom Extremstellen, setzt man \(\text{grad}f(x,y)=0\), das kann nur sein, wenn \(x=y=0\) ist.

Die Tangentialebene ist folglich \(z=1\)

b)

Es ist \(\text{grad } f(1/2,1/2)=(-1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})\)

c)

guck dir mal das Bild an!

Comments

Vielen Lieben Dank.

nur habe ich beim Punkt b) (-\( \sqrt{2} \) / 2 , -\( \sqrt{2} \) / 2 ). Wo liegt mein Fehler ?

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1/√2 = 1/√2 * √2/√2 = √2/2

Bei dir ist nur rationalisiert.

Answer 2

Hallo

a) warum willst du nach  x oder y umstellen?

b) steilste Tangente ist grad(),

c) ja, Steigung 0 aber gefragt ist genauer, wie verläuft sie durch (1,0) gibt es ja viele Geraden mit Steigung 0

ist die klar, dass der Graph von  f(x,y) eine Halbkugel beschreibt? wobei ich raten musste dass x2, y2 eigentlich x^2 und y^2 sind.

Gruß lul

Comments

bei a) will ich nach x/y Umstellen um die potentiellen Extrempunkte zu berechnen.

b) was meinst du damit :)

c) Ok, ist gefragt ob sie die Funktion schneidet o.ä?

Danke erstmal für die Antwort :)

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Hab jetzt b) verstanden :)

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Nur wie berechne ich den alpha bzw. die Steigung da ich ja den Gradienten und den Punkt geben habe, aber ich habe ja keinen Richtungsvektor geben um die Richtungsableitung zu berechnen?

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Hallo

der grad an dem Punkt gibt doch die maximale Steigung? du setzt also den Punkt in grad(f) ein. dann hast du den Richtungsvektor, oder ich hab deine Frage nicht verstanden.

Gruß lul

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Das heißt in meinem Beispiel ist der Richtungsvektor dann (-\( \frac{ \sqrt{2}  }{2} \) , -\( \frac{ \sqrt{2}  }{2} \) )

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ja, hab ich auch.