Untersuchen Sie, auf wie viele Arten die Vektoren a1 und a2 ausgetauscht werden können, um eine Basis zu bilden

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den reellen Vektorraum \( ℝ^3 \) und die Vektoren:

$$ b_{1}=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right), \quad b_{2}=\left(\begin{array}{l} {2} \\ {3} \\ {5} \end{array}\right), \quad \text { und } \quad b_{3}:=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {-1} \\ {2} \end{array}\right) $$

a) Überprüfen Sie, ob die Vektoren \( b_{1}, b_{2}, b_{3} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) bilden.

b) Untersuchen Sie, auf wie viele Arten zwei dieser Vektoren gegen die Vektoren $$ a_{1}=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad a_{2}=\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) $$
ausgetauscht werden können, sodass eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) entsteht.

Problem/Ansatz:

Aufgabe a haben wir schon nur bei Aufgabe b komme ich einfach nicht weiter, vielleicht hätte jemand einen Ansatz für mich?

Ich würde sagen einfach b1 und b2 gegen a1 und a2 austauschen und dann auf Lineare Unabhängigkeit untersuchen und ob es ein Erzeugendesystem ist. Ist das so richtig?

Answer 1

b1 und b3 lassen sich nicht aus den lin. unabhängigen a1 und a2 kombinieren, aber b2=2a1 + 3a2.

Also kann man nicht b1 und b3 ersetzen, aber b1, b2 oder b2,b3

Comments

Aso weil ich das jetzt versucht hab und ich habe raus bekommen,

Dass ich diese 3 Möglichkeiten habe

1. Mögl —> b1,a1,a2

2. Mögl —> a1,b2,a2

3.Mögl—> a1,a2,b3

Für alle 3 Konnte ich Beweisen dass es Erzeugendesystem und Linear unabhängig ist .

Jetzt bin ich etwas verunsichert, hab ich es denn falsch gemacht ( also die Idee)

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Stimmt das?

b2=2a1 + 3a2

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Wie kann ich den ein Foto hinzufügen , dann würde ich es hochladen

Aber bei Der 2 Möglichkeit habe ich für Die lineare Kombination folgendes raus:

a•a1 + b•a2+ c•b2=v

Für a = 3v1-2v2

B=V2-v1

C=2v1-v2

( aber wenn ich mir deine Lösung angucke dann könnte es schon hinhauen) hätte aber dann -2v2

Könntest du eventuell vielleicht sagen wie du drauf kommst ?

Lg

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Mach doch mal langsam! Stimmt das?

b2=2a1 + 3a2

Rechne es nach!

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Ja das Stimmt so

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Können dann b2,a1,a2 eine Basis bilden? Begr?

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Elien, noch da?

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Ja das hab ich begriffen , aber wenn man es verallgemeinert?  Ich meine damit wähle ich b2 explizit aus. Ich glaub ich hab die Aufgabe missverstanden

Meinst du eig man kann b1 und b2 gegen a1 und a2 tauschen ? Etc.

dann hat man

b3, a1 ,a2

Und b1,a1,a2

Müsste ich es dann eig.

B3= a• a1+b•a2

B1= a•a1+b•a2

Das ist jetzt der beweis dafür , dass diese eine Linear Kombination haben.

Für unabhängig reicht es dann aus

0=a•b3 +b•a1 +c•a2

0=a•b1+b•a1+c•a2

Ps:

Danke für deine Mühe

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Können dann b2,a1,a2 eine Basis bilden?  Nein, weil die Vektoren l.u. sein müssten.

Sind sie aber nicht wegen: b2=2a1 + 3a2

Daraus folgt, dass In deiner Rechnung ein Rechenfehler sein muss.

Du brauchst ihn nicht zu suchen, guck nur  mal die Zeile für die x-Koord. an:
(3v1-2v2)*1 +  (V2-v1)*0 +  (2v1-v2)*2 = v1

Du musst nicht jeden Vektor (v1,v2,v3)T kombinieren könne als Beweis für die "Basis".

Der Raum ist 3-dimensional, also musst du nur 3 l.u. Vektoren angeben.

Wie beweist man die lineare Unabh.?

a•a1 + b•a2+ c•b2=0-Vektor

(Das ist weniger Arbeit als a•a1 + b•a2+ c•b2=v-Vektor)

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Aso also sobald ich die lineare Unabhängigkeit bewiesen habe, brauche ich nicht zu beweisen, dass es ein Erzeugendesystem ist.

Aber ich dachte eine BASIS ist linear unabhängig UND Erzeugendesystem.

Ps:

Also einfach nur Unabhängigkeit beweisen ?

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Eigentlich hast du die Aufg. nicht missverstanden:

1. Mögl —> b1,a1,a2

2. Mögl —> a1,b2,a2

3.Mögl—> a1,a2,b3


Für alle 3 Möglichkeiten versuche  (Konnte) ich zu beweisen, dass (es Erzeugendesystem und) die jeweiligen 3 Vektoren linear unabhängig sind.

Das würde genügen, damit wären die jeweilgen Vektoren eine (3-dimensionale) Basis des ℝ³.

Bei den 3 Vektoren der 2. Mögl. klappt der Nachweis der lin. Unabhängigkeit nicht, bei den anderen schon.

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Ich danke dir vielmals

Ich habe es jetzt verstanden. Super lieb von dir, dass du dir die zeit genommen hast.

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"Aber ich dachte eine BASIS ist linear unabhängig UND Erzeugendesystem."

Eine Basis muss lin. unabhängige Vektoren enthalten.

Ein Erzeugendensystem {v1,v2,v3...} enthält Vektoren, die den betr. Raum erzeugen durch Linearkombinationen. Sie brauchen nicht l.u. zu sein.

Wenn das Erzeugendensystem minimal ist, d.h. es enthält genau soviel Vektoren wie die Dimension des Raumes, dann sind die Vektoren bestimmt l.u.

Ein minimales Erzeugendensystem nennt man Basis.