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Gegeben sei ein kartesisches xy-Koordinatensystem des E2. Zwei Vektoren a1 und a2 haben bzgl dieses Systems folgende Koordinatenvektoren:

a1=

$$\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\sqrt { 2 }  \\ \frac{1}{2}\sqrt { 2 }  \end{bmatrix}$$

a2=

$$\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\sqrt { 3 }  \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

1.Zeigen Sie, dass a1 und a2 in dem zugehörigen Ortsvektorraum eine Basis bilden.

2. Bilden a1 und a2 eine orthonormierte Basis? 

3. Wiel lauten für den Einheitsvektor der y-Achse die Koordinaten bzgl der Basis a := (a1  a2)T?

Ich bitte um eine ausführliche Erklärung. 

von
Stehen die 2en vor den Wurzeln, weil das 2. Wurzeln sind?

Die Wurzeln sind unter dem Bruchstrich zusammen mit den 'Faktoren' 2?
Die stehen im Zähler. Ich korrigiere es. (oder auch nicht. Machst du ja gerade :D )
Thilo: Ich danke. Latexkorrekturen sind nicht so meins.
Ok, mache ich. Sobald dort nicht mehr steht, dass der Beitrag gerade von dir bearbeitet wird und ich es später nochmal versuchen soll ^^

1 Antwort

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1. Der Ortsvektorraum ist 2-dimensional, also brauchen wir 2 Basisvektoren.

Sind a1 und a2 lin. unabhänhig?

Ja, denn x*\( \begin{pmatrix} -0,5√2\\0,5√2 \end{pmatrix} \) +y*\( \begin{pmatrix}0,5√3\\0,5 \end{pmatrix} \) =0 ⇒x=y=0

Also bilde a1 und a2 eine Basis.

2. Sind a1 und a2 orthonormal, d.h. Länge=1 und senkrecht?

Nein, denn \( \begin{pmatrix} -0,5√2\\0,5√2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix}0,5√3\\0,5 \end{pmatrix} \) = -1/4 √6 +1/4 √2 ≠ 0

3. x*\( \begin{pmatrix} -0,5√2\\0,5√2 \end{pmatrix} \) +y*\( \begin{pmatrix}0,5√3\\0,5 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \) ⇒ x= 3√2 - √6,   y=√3 - 1

\( \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \) hat bzgl der Basis a := (a1  a2)T die Form \( \begin{pmatrix} 3√2 - √6\\√3 - 1\end{pmatrix} \). Die neuen Koord. kann man ablesen.

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