Integration in Polarkoordinaten mit x*y

Question

ich hätte eine Frage bei der Integration mit Polarkoordinaten.

ich soll die Funktion f(x,y)=x*y integrieren, jetzt habe ich \( \int\limits_{11π/6}^{7π/3} \)  \( \int\limits_{0}^{1}\)  (r*cos(φ)*r*sin(φ))*rdr dφ. Ich weiß jetzt nicht ob ich cos*sin irgendwie zusammen fassen kann oder ob ich damit integrieren muss.

Gruß.

Answer 1

Ich vermisse dr und dφ.

Die Kenntnis von sin(φ)*cos(φ)=0,5sin(2φ) erleichtert das Integrieren.

Comments

Tut mir Leid, habe ich vergessen abzutippen. Vielen Dank

Answer 2

Aloha :)

Ich würde \(\sin\)- und \(\cos\)-Funktion nicht zusammenfassen. Die eine ist die Ableitung der anderen, weshalb das Integrieren extrem einfach ist:

$$\int\limits_{11\pi/6}^{7\pi/3}\int\limits_0^1 r^2\sin\varphi\cos\varphi\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{11\pi/6}^{7\pi/3}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\int\limits_0^1 r^3\,dr$$$$=\left[\frac{1}{2}\sin^2\varphi\right]_{11\pi/6}^{7\pi/3}\cdot\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 r^3\,dr=\frac{1}{8}\left[\sin^2\left(\frac{7\pi}{3}\right)-\sin^2\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right]$$

Comments

Ok probiere es mal mit beiden Versionen, Danke :)