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Aufgabe:

Durch Übergang zu Polarkoordinaten berechne man:

$$\int_{0}^{a}\int_{\sqrt{ay-y^2}}^{\sqrt{a^2-y^2}} \sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy$$

Problem/Ansatz:

Die Funktion habe ich bereits in Polarkoordinaten umgewandelt: $$ \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \sqrt{a^2-r^2}$$

und der Radius r müsste, glaube ich, von 0 bis a gehen als Integrationsgrenze? Aber wie kommt man auf die weitere Grenze, also auf die Grenzen von Phi?

:)

von

Hallo

 die untere Grenze x=√(ay-y^2) also x>0 und x^2+(y-a/2)^2=a^2/4

 ist ja der Halbkreis x>0 um (0,a/2) dann wird bis zum Kreis x^2+y^2=a^2 ,y>0  wieder der rechte obere Viertelkreis integriert. also hängt r von phi ab.

Gruß lul

Hast

 du r(phi) raus?

lul

Also..ich verstehe nun, wie man auf a²/4 kommt. Aber das mit den Halb- und den Viertelkreisen kann ich noch nicht wirklich nachvollziehen. Und auch nicht, wie man darauf auf den Winkel / r schließen kann :/

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo

 untere Grenze x=√(ay-y^2)  daraus x^2+(y-a/2)^2=a^2/4 das ist ein Kreis um (0,a/2) mit Radius a/2 und  wegen x>0 ein Halbkreis . Obere Grenze  x=√(a^2-y^2) also x^2+y^2=a^2 wegen x>0 und y>0 nur 1/4 Kreis um 0

du musst also in meinem Bild von dem Kreisbogen h bis e integrieren, d,h r geht von i bis a also von a*sin(φ) bis a, und φ von 0 bis pi/2

Gruß lulBildschirmfoto 2019-06-02 um 13.06.11.png

von 92 k 🚀

okay, jetzt verstehe ich es besser, die Zeichnung ist dabei wirklich eine Riesenhilfe :)
Wenn ich die Grenzen einsetze und das Integral auflöse, komme ich auf $$(a^2(-4+pi))/16$$.
Vielen vielen Dank für Ihre Hilfe ^^

Hallo

ich hab das Integral nicht berechnet, aber, dass es negativ ist wundert mich sehr, kannst du deine Rechnung zeigen?

Gruß lul

New Canvas.jpgFür das Integrieren habe ich der Einfachheit halber einen Online-Rechner benutzt, die Grenzen habe ich selbst eingesetzt. :3

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