Bei deinem Integral mit Polarkoordinaten passt die Reihenfolge der oberen Integrationsgrenzen nicht zu der Reihenfolge der Integrationsvariablen.
r wird von 0 bis ∝ integriert,
Θ wird von 0 bis π integriert und
φ wird von 0 bis 2π integriert.
Es gilt:
$$ \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ \pi { a }^{ 3 } } { e }^{ -\frac { 2r }{ a } }{ r }^{ 2 }\sin { \Theta } ~dr } ~d\Theta } ~d\varphi } =\\ \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\frac { 1 }{ \pi { a }^{ 3 } } \left( \int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -\frac { 2r }{ a } }{ r }^{ 2 }~dr } \right) \left( \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { \Theta } ~d\Theta } \right) \left( \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ d\varphi } \right) $$
Berechnet man die Integrale, erhält man:
$$ \quad \quad \quad \int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -\frac { 2r }{ a } }{ r }^{ 2 } ~dr } ={ \left[ -\frac { 2a{ r }^{ 2 }+2{ a }^{ 2 }r+{ a }^{ 3 } }{ 4 } { e }^{ -\frac { 2r }{ a } } \right] }_{ 0 }^{ \infty }=\frac { { a }^{ 3 } }{ 4 } $$
$$ \quad \quad \quad \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { \Theta } ~ d\Theta } ={ \left[ -\cos { \Theta } \right] }_{ 0 }^{ \pi }=2 $$
$$ \quad \quad \quad \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ d\varphi } ={ \left[ \varphi \right] }_{ 0 }^{ 2\pi }=2\pi $$
Somit erhält man abschliessend:
$$ \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \int _{ 0 }^{ \pi }{ \int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ \pi { a }^{ 3 } } { e }^{ -\frac { 2r }{ a } }{ r }^{ 2 }\sin { \Theta } ~ dr } ~ d\Theta } ~ d\varphi } =\\ \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\frac { 1 }{ \pi { a }^{ 3 } } \cdot \frac { { a }^{ 3 } }{ 4 } \cdot 2\cdot 2\pi =1 $$
Was zu zeigen war.
Nebenbei bemerkt: Die Wellenfunktion des 1s-Orbitals hängt nur von r ab. Deshalb ist das 1s-Orbital auch kugelsymmetrisch. Dass die Norm der Wellenfunktion gleich 1 sein muss, bedeutet anschaulich, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein 1s-Elektron irgendwo im gesamten Raum (r von 0 bis ∝) angetroffen wird, gleich 1 ist.
