Absolut konvergent konvergenz

Question

Hallo. Wie löse ich folgende Aufgabe?

(a) Wann ist eine Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) absolut konvergent? Geben Sie die Definition an.
(b) Zeigen Sie mithilfe des Quotientenkriteriums: Die Reihe
$$ \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{3 n^{2}+1}{(-2)^{n}} $$
ist absolut konvergent.

Comments

a) Suche in deinen Unterlagen nach der Definition der absoluten Konvergenz.
b) Suche in deinen Unterlagen nach der Definition des Quotientenkriteriums und wende diese (zsm. mit der Def. aus a) an.

Answer 1

Die Reihe aus den Absolutwerten muss konvergieren, also \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{3n^{2}+1}{2^{n}}} \)

z.z.: Es ex. ein q mit I \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \) I ≤ q <1, für hinreichend große n∈ℕ

I \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \) I

=  I \( \frac{3(n+1)^{2}+1}{2^{n+1}} \)* \( \frac{2^{n}}{3n^{2}+1} \) I

= I \( \frac{3n^{2}+6n+4}{2} \)* \( \frac{1}{3n^{2}+1} \) I

≤ I \( \frac{3n^{2}+n^{2}}{2} \)* \( \frac{1}{3n^{2}} \) I =2/3

Es muss noch gezeigt werden, dass n² > 6n+4 für hinreichend große n∈ℕ

Bew: n² -6n-4 > n² -6n-4n = n² -10n = n(n-10) >0 für n>10

Comments

Ich kann diese Schritten leider nur teilweise nachvollziehen woher kommt dieses q

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Die zweite Zeile enthält die Definition der absoluten Konvergenz. Die Aufgabe ist, eine Zahl q<1 zu finden, also z.B 1/2 oder 2/3, die die Bedingung in Zeile 2 erfüllt.

Die Zeile mit "q" ist nicht zu verstehen, man soll sie einfach zur Kenntnis nehmen und dann anfangen, das q zu suchen!

Geh die Zeilen durch und schreibe, welche Zeile unklar ist!