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Hi, ich gehe gerade Altklausuren durch und frage mich bei dieser Aufgabe, warum ich nicht auch Lipschitzstetigkeit auf einem beschränkten Intervall zeigen darf, um auf gleichmäßige Stetigkeit schließen zu können. Ich bin inutitiv bei der Bearbeitung von a) genauso vorgegangen wie es für b) vorgesehen war:

Untersuchen Sie, ob die Funktion \( f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}} \) auf den Intervallen
\( \begin{array}{llll}{\text { (a) }(0,1)} & {\text { und }} & {\text { (b) }[1, \infty)} & {}\end{array} \)
gleichmäßig stetig ist.
Zu \( (a): \) Hier ist die Funktion nicht gleichmäñsig stetig. Zum Nachweis betrachte man etwa das Folgenpaar \( x_{n}=\frac{1}{n} \) und \( y_{n}=\frac{1}{2 n} \) und wende das Folgenkriterium für die glm.
Stetigkeit an.
\( Z u(b): \) Die Funktion ist hier differenzierbar mit beschränkter Ableitung. Der Schrankensatz ergibt die gleichmäßige Stetigkeit.


Wisst ihr vielleicht warum ich das nicht für a) machen darf?

Und ich wollte euch auch noch fragen, ob ich das mit dem Folgekriterium so beweisen darf:

$$x_{n}-y_{n}=\frac{1}{2n}\rightarrow 0$$

$$f(x)-f(y)=2\sqrt{n}-2\sqrt{2n}\rightarrow \infty$$

Das Folgekriterium gilt doch dann nur für beschränkte Intervalle, oder?


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Hallo,

die Ableitung der Wurzelfunktion strebt gegen Unendlich für x gegen 0.

Deshalb kannst du damit auf (0,1) keine Lipschitz-Stetigkeit nachweisen.

Du musst die gleichmäßige Stetigkeit hier per Definition untersuchen.

Avatar von 37 k

vielen vielen Dank für deine Rückmeldung:)

Tut mir leid, dass ich so spät nochmal etwas nachfrage, aber weisst du ob ich das Folgekriterium hier richtig angwendet habe? Darf ich das nicht auch benutzen? Weil du ja schreibst, dass ich hier mir der Definition arbeiten soll

Und falls dort [0,1) stehen würde, dürfte ich es doch anwenden, oder?

tut mir nochmal leid, dass ich dich jetzt so mit Fragen bombadiere.....

Das Folgenkriterium für gleichmäßige Stetigkeit kannte ich gar nicht :) .

Habe es jetzt auf Wikipedia nachgelesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit#Eigenschaften

Deine kurze Rechnung müsste als Begründung reichen ( es fehlen aber die Betragsstriche).

okay, vielen vielen Dank:)

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