Ist die Folge (streng) monoton wachsend, fallend...

Question

Ist diese Folge (streng) monoton wachsen, fallend, konstant, alternierend

\( \left\{(-1)^{n} \cdot \frac{2 n}{3 n+1}\right\} \)

Ich habe mal für n 1 eingesetzt (-1/2) und n=2 (4/7). Ich dachte sie wäre monoton wachsend?

Als Lösung soll rauskommen:

Nicht monoton, eine obere Schranke 2/3 und eine untere Schranke -2/3.

Wie komme ich auf die Schranken??

Mir wäre jetzt nur noch aufgefallen, dass wenn ich für n 3 einsetzen würde, wieder eine negative Zahl herauskommen würde.

Answer 1

Hallo bitator,

 

durch den Faktor (-1)ⁿ wechseln die Glieder der Folge bei jeder Erhöhung des n um 1 das Vorzeichen.

Und für n -> ∞ geht der zweite Faktor

2n / (3n + 1)

natürlich gegen 2/3.

So ginge die gesamte Folge ohne den ersten Faktor für n -> ∞ gegen 2/3, doch durch den Wechsel des Vorzeichens springt sie dann quasi zwischen +2/3 und -2/3 hin und her.

 

Besten Gruß

Comments

und dadurch gibt es keine Monotonie, oder?


Wie beweise ich das?

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Betrachte ich bei den Schranken das +1 in der Formel gar nicht?

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Wie man die fehlende Monotonie beweist, kann ich Dir leider nicht sagen :-(

Ist einfach so eine intuitive - und hoffentlich nachvollziehbare - "Erkenntnis" :-)

Das +1 unter dem Bruchstrich wird bei n -> ∞ in der Tat bedeutungslos, das würde jeder konstante Summand.

Man siehe:

(2 * 100) / (3 * 100 + 1) ≈ 0,6644518272

(2 * 1000) / (3 * 1000 + 1) ≈ 0,6664445185

(2 * 1.000.000) / (3 * 1.000.000 + 1) ≈ 0,6666664444

(2 * 1.000.000.000) / (3 * 1.000.000.000 + 1) ≈ 0,6666666664

Die +1 wird also mit wachsendem n immer bedeutungsloser.

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Da ja mit jeder Erhöhung von n sich das Vorzeichen ändert, springt das Ergebnis ja immer um 0. Vielleicht reicht das ja als Ergebnis aus.


Bei {cos(n*pi/2) würde die Funktion ja zwischen -1 und 1 herumspringen, es würde also keine Monotonie geben, oder?

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Klingt einleuchtend:

Die Glieder der Folge sind abwechselnd positiv und negativ, d.h. man hat keinen gleichbleibenden Anstieg oder "Abfall". Monotonie liegt also nach allgemeinem Verständnis nicht vor.