Gradienten der Funktion f(x;y):= sqrt(4-x^{2}-y^{2})

Question

Hallo liebe Mathe Community,

Hier zur Aufgabe:

Ich muss den Gradienten bestimmen einer Funktion. sqrt(4-x^2-y^2)

Problem/Ansatz:

Eigentlich weiß ich wie dies funktioniert, doch ich hab Probleme bei der Funktion. Wie geht ihr vor ? Also das erste wäre mir wichtig f(x;y)

Vielen dank :)

Answer 1

Aloha :)

Die beiden partiellen Ableitungen bekommst du mit der Kettenregel:

$$\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{4-x^2-y^2}=\frac{1}{2\sqrt{4-x^2-y^2}}\cdot(-2x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2-y^2}}$$$$\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{4-x^2-y^2}=\frac{1}{2\sqrt{4-x^2-y^2}}\cdot(-2y)=\frac{-y}{\sqrt{4-x^2-y^2}}$$$$\Rightarrow\quad\text{grad}\left(\sqrt{4-x^2-y^2}\right)=\frac{-1}{\sqrt{4-x^2-y^2}}\binom{x}{y}$$

Comments

vielen dank.Wie kann man daraus die Richtung ermitteln?

edit: Ich hab ein Punkt P=(0,5;1)

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Schau dir den Gradienten mal genau an. Da steht ein Vorfaktor und dann als Vektor \(\binom{x}{y}\). Das ist der Vektor, der vom Koordinatenursprung zum Punkt \((x,y)\) führt. Die Richtung des Gradienten zeigt also radial nach innen gerichtet (weil der Vorfaktor negativ ist).