Basis der Summe von Unterräumen bestimmen

Question

Sei K = ℚ und V = ℚ³ Bestimmen Sie eine Basis der Summe folgender Unterräume und prüfen Sie, ob eine direkte Summe vorliegt.

U₁ + U₂, wobei U₁ = ⟨\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \)⟩ und U₂ = ⟨\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)⟩

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Die Summe der Unterräume wird von den drei gegebenen

Vektoren v1, v2, v3 erzeugt.

Die sind allerdings lin. abhängig, weil z.B.

v1 = 2*v2 - 1* v3 gilt.

Also kann man für eine Basis den ersten weglassen

und hat als Basis für die Summe einfach nur v2 und v3.

Es ist also U1 Teilraum von U2, die Summe somit nicht direkt.