e-Funktionen: Achsenschnittpunkte, Extrempunkte & Wendepunkte (ohne Hilfsmittel!) berechnen
Bsp: f(x)=(x+2)*e^x
Du musst die Funktion f(x) und die Ableitungen f'(x) und f''(x) gleich Null setzen. Für den Wendepunkt ist f'''(x) auch noch sinnvoll.
f'(x) mit Produktregel:
f(x)=u(x)*v(x) mit u(x)=x+2 und v(x)=e^x
f'(x)=u'v+uv' mit u'=1 und v'=e^x
Ableitungen:
f'(x)=1*e^x+(x+2)*e^x=(x+3)*e^x
f''(x)=(x+4)*e^x
f'''(x)=(x+5)*e^x
Nullstellen: f(x)=0
0=(x+2)*e^x
0=x+2 (oder e^x=0, was keine Lösung liefert, da e^x>0 ist)
x=-2 , also N(-2|0)
Extrema: f'(x)=0 (Notwendige Bedingung)
x=-3 (Prinzipiell wie bei f(x)=0, nur mit 3 statt 2)
y=(-3+2)*e^(-3)=-e^(-3)≈-0.049787
E(-3|-0.049787)
Min. oder Max.?
f''(-3)=(-3+4)*e^(-3)=e^(-3)≈0.049787>0 , also ist E ein Minimum.
Wendepunkt zur Kontrolle: W(-4|−0.03663)
