Differenzenquotient mit Intervall

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)=0,5x² und g(x)=3x³+1. Bestimmen sie jeweils den Differenzenquotienten mit Intervall I

Problem/Ansatz:

a) I = (0; 2)

b) I = (-1; 3)

c) I = (-1; 1)

d) I = (-2; -1)

Comments

Es gibt da eine Formel für den Differenzenquotienten, die im Lehrbuch steht und auch sicher im Unterricht behandelt wurde. Da musst du nur die beiden Intervallgrenzen einsetzen. Was genau kannst du da denn nicht?

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Wir haben es nochch nie im Unterricht gemacht da mein Lehrer heute krank war und er dann uns ne E-Mail schrieb wo er sagt dass wir das machen müssen.

Außerdem steht es im Lehrbuch sehr verwirrend und auch neue Sachen die wir noch nicht hatten.

Answer 1

Die Formel für den Differenzenquotienten ist $$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$ Hier müssen für a und b die beiden Intervallgrenzen des Intervalls (a;b) eingesetzt werden. Und f steht für die Funktion, die natürlich auch anders heißen kann. Ich mache es mal für die Aufgabe c) mit der Funktion g vor: $$ \frac{g(1)-g(-1)}{(1)-(-1)}=... $$ Dies war der "Ansatz", es wurde nur g statt f benutzt und für a und b die konkreten Zahlen eingesetzt. Im nächsten Schritt berechne ich die beiden Funktionswerte im Zähler, und zwar wie immer durch Einsetzen der Zahl statt x in den Funktionsterm. Das geht im Kopf, zur Not nimmt man bei komplizierteren Zahlen oder Funktionstermen einen Taschenrechner zu Hilfe. So geht es dann weiter: $$ ...=\frac{(4)-(-2)}{2}=3 $$ Der letzte Schritt sollte klar sein, ich habe nur den Wert des Terms berechnet. Noch mehr Zwischenschritte würden meiner Meinung nach nur verwirren. Das war es auch schon. Der Differenzenquotient für die Funktion g und das Intervall (-1;1) hat den Wert 3. Die anderen 7 Teilaufgaben solltest du selbständig hinbekommen.

Comments

Danke jetzt habe ich das verstanden :)

Answer 2

Ich zeige dir das einmal an der Aufgabe b).

f(x)=0,5x² und g(x)=3x³+1

b) I = (-1; 3)

Intervallgrenzen einsetzen:
f(-1)=0,5·(-1)²=0,5
f(3)=0,5·3²=4,5

Beim Differenzenqoutienten musst du f(3)-f(-1) durch 3-(-1) dividieren, also die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte. Vielleicht kennst du das von der Berechnung der Geradensteigung.

\(\dfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\dfrac{4,5-0,5}{3+1}=\dfrac{4}{4}=1\)

Für g(x):

\(\dfrac{g(3)-g(-1)}{3-(-1)}\)

\(=\dfrac{3\cdot 3^3+1-(3\cdot(-1)^3+1)}{3+1}=\dfrac{28-(-2)}{4}=\dfrac{30}{4}=7,5\)