Aloha :)
In \(\mathbb{R}\) existiert das Integral nicht. Du kannst es aber in \(\mathbb{C}\) wie folgt berechnen:
$$\int\limits_0^1(-1)^xdx=\int\limits_0^1(e^{i\pi})^xdx=\int\limits_0^1e^{i\pi x}dx=\left[\frac{e^{i\pi x}}{i\pi}\right]_0^1$$$$=\frac{e^{i\pi}}{i\pi}-\frac{e^0}{i\pi}=\frac{-1}{i\pi}-\frac{1}{i\pi}=-\frac{2}{i\pi}=\frac{2}{\pi}\,i$$
