Ableitung von Arcuscosinus: d/dx arccos(x) = -1/√(1-x^2) herleiten.

Question

Ich habe folgende Funktion:

\( \arccos (x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} \)

Wie kann dieser Ausdruck bewiesen werden?

Mir ist klar, dass

y = cos(x)

und

x = arccos(y)

und die \( (sin^2 x)+(cos^2 x)=1 \) habe ich in diesem Kontext auch aufgeschnappt, nur habe ich leider keine Ahnung wie ich auf das kommen kann.

Comments

Es muss sich hier um die Formel für die Ableitung von arccos handeln.

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+arccos%28x%29+

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Danke für die Antwort. Die Formel hab ich ja im Internet bereits gefunden, nur interessiert es mich wie diese bewiesen werden kann.

Answer 1

Wie gesagt es ist die Formel für die Ableitung von arccos und keine Formel für arccos.

Die Ableitungen von Umkehrfunktionen können nach der Formel hier berechnet werden:

(f^{-1} (y)) ' = 1/f ' (x)

Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Dort ist die Ableitung von arcsin vorgerechnet. Diejenige für arccos kannst du bestimmt selbst aus dem dort vorliegenden Text übertragen.

(f^{-1} (y)) ' = 1/f '( x)

x = arccos(y) 

arccos(y) ' = 1/ (-sin(x))

Jetzt muss ja rechts y und nicht x vorkommen.

Wir wissen y = cosx 

Wegen cos^2 x + sin^2 x = 1 gilt

sin x = √(1 - cos^2 x)                    |mal angenommen,

                                            | dass wir den Bereich mit sinx >0  und cosx > 0 betrachten.

sin x = √(1 - y^2)

Einsetzen in

arccos(y) ' = 1/ (-sin(x)) = 1/ (-√(1-y^2)) = -1/ √(1-y^2)     

Nun noch mit x schreiben:

arccos(x) ' = -1/ √(1-x^2)                qed.

Weitere Vorzeichenbereiche allenfalls mit Fallunterscheidungen auch noch beweisen.

Comments

Ich habe mich damals mit der Regel vom Ableiten der Umkehrfunktion damals sehr schwer getan. Das lag zum Größtenteils daran, das die Formel immer von einer funktion f(x) ausgeht, deren Ableitung ich kenne und anhand derer die Umkehrfunktion aufzieht. In der Realität ist aber meist f(x) eine Funktion deren Ableitung ich nicht kenne, aber von deren Umkehrfunktion ich die Ableitung bilden kann.

Von daher hatte ich mir früher immer die Regel zum Ableiten der Umkehrfunktion anders aufgeschrieben.
Vielleicht kommst du damit auch besser zurecht:

https://docs.google.com/document/d/116PBpGNzxLWYS4RYqM2J1uxMQOed0vjjf9msGznQR58/pub

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@Mathecoach: Danke für die Ergänzung.
Ich gehe eigentlich immer über die Zeichnung, wie sie in Wikipedia angegeben ist und mach dann die Formeln daraus, wenn ich sie wieder einmal brauche. Ist natürlich nicht der schnellste Weg.

Answer 2

d/dx arcsin x = 1/cosx      | für x = arcsin x einsetzen

= 1/ (cos(arcsin x))  | additionstheorem sin^2x+ cos ^2x = 1 --> cos x = wurzel (1-sin^2x)

=1/ ( wurzel ( 1-sin^2 (arcsinx)))

=1/ wurzel ( 1- x^2)