Zeigen, dass Abbildung orthogonal ist

Question

Aufgabe:

$\operatorname{Sei}(V,\langle,\rangle)$ ein euklidischer Vektorraum. Für $w \in V, w \neq 0$ ist $s_{w}: V \rightarrow V$ durch $s_{w}(v):=v-2 \frac{<v_{w}>}{<w, w>} w$ definiert (die Abbildung $s_{w}$ ist die Spiegelung an der Hyperebene $\{v \in V |\langle v, w\rangle= 0\}$ ). Zeigen Sie:
(a) $s_{w}$ ist eine orthogonale Abbildung.

Problem/Ansatz:

Also ich gehe von $<s_w(v), s_w(u)>$ aus und versuche daraus $<v, u>$ abzuleiten, aber irgendwie will es nicht so recht. Ist das der falsche Ansatz?

Answer 1

Ja, das ist richtig. Denn, das entspricht ja der Definition von orthogonalen Abbildungen.

Sicher, dass in der Abbildung beim Zähler oben nur <v_w> steht? Oder habt ihr dafür eine Konvention eingeführt?

Answer 2

Versuch es doch mal so:

$$<s_{w}(u),s_{w}(v)>\\=<u-2 \frac{<u,w>}{<w, w>} w,v-2 \frac{<v,w>}{<w, w>} w>\\=<u,v>-<2 \frac{<u,w>}{<w, w>} <w,v>-<2 \frac{<v,w>}{<w, w>} <u,w>+<4 \frac{<v,w><u,w>}{<w, w>^2} <w,w>\\=<u,v>-2< \frac{<u,w>}{<w, w>} <v,w>-2<\frac{<v,w>}{<w, w>} <u,w>+4<\frac{<v,w><u,w>}{<w, w>^2} <w,w>\\=<u,v>-4< \frac{<u,w>}{<w, w>} <v,w>+4<\frac{<v,w><u,w>}{<w, w>}\\=<u,v>$$

Comments

Aber ich habe da leider ein paar Verständnisprobleme; im zweiten Schritt kommt bei dir der Ausdruck vor

$... - <2 \frac{<u,w>}{<w,w>} <w,v> - ...$.

Meinst du damit

$... - <2 \frac{<u,w>}{<w,w>} <w,v>> - ...$

also hast du einfach eine spitze Klammer vergessen (kann ja passieren, kein Ding) oder meinst du etwas ganz anderes?

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Habs! Vergiss meine Frage! Vielen Dank für deine Hilfe! :)