Zeige: Wenn die lineare Abb. Q irgendeine Orthonormalbasis auf eine Orthonormalbasis abbildet, ist Q orthogonal.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass Folgendes gilt: Ist $Q: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ eine lineare Abbildung, die irgendeine Orthonormalbasis $\mathcal{B}=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\}$ des $\mathbb{R}^{2}$ auf eine Orthonormalbasis abbildet, dann ist $Q$ orthogonal.

Answer 1

Für die Orthonormalbasen gilt:

$||b_{i}||=1$ und $\left<b_{1}, b_{2}\right>=1$

Jetzt prüfen wir die Abbildung $Q$ auf Orthogonalität, d.h. wir nehmen uns beliebige Vektoren $x,y\in \mathbb{R}^{2}$

und stellen sie intern von $\mathcal{B}$ dar:

$x=\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}\quad y=\beta_{1}b_{1}+\beta_{2}b_{2}$ mit geeigneten $\alpha_{i}, \beta_{i}\in \mathbb{R}$

und schauen uns das Skalarprodukt $\left<Q(x), Q(y)\right>$ an:

$\left<Q(x), Q(y)\right>=\left<Q(\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}), Q(\beta_{1}b_{1}+\beta_{2}b_{2})\right>$

$Q$ ist lineare Abbildung, also trennen wir die Summe auf und ziehen die Skalare raus, ebenso ist das Skalarprodukt bilinear und wir können die Skalare weiter rausziehn:

$=\alpha_{1}\beta_{1}\left<Q(b_{1}), Q(b_{1})\right>+\alpha_{1}\beta_{2}\left<Q(b_{1}), Q(b_{2})\right>+\alpha_{2}\beta_{1}\left<Q(b_{2}), Q(b_{1})\right>+\alpha_{2}\beta_{2}\left<Q(b_{2}), Q(b_{2})\right>$

jetzt nutzen wir den Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Norm und die Eigenschaft von $Q$ $\mathcal{B}$ wieder in eine Orthonormalbasis zu überführen

$=\alpha_{1}\beta_{1}\cdot||Q(b_{1})||^{2}+\alpha_{1}\beta_{2}+\alpha_{2}\beta_{1}+\alpha_{2}\beta_{2}||Q(b_{2})||^{2}=\alpha_{1}\beta_{1}+\alpha_{1}\beta_{2}+\alpha_{2}\beta_{1}+\alpha_{2}\beta_{2}$

Da jetzt $\left<b_{1}, b_{2}\right>=1=||b_{i}||^{2}$ nach Voraussetzung können wir überall "komplizierte" Einsen dazu multiplizieren

$=\alpha_{1}\beta_{1}\left<b_{1}, b_{1}\right>+\alpha_{1}\beta_{2}\left<b_{1}, b_{2}\right>+\alpha_{2}\beta_{1}\left<b_{2}, b_{1}\right>+\alpha_{2}\beta_{2}\left<b_{2}, b_{2}\right>$

und mit der Bilinearität des Skalarprodukts zu guter letzt

$=\left<\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}, \beta_{1}b_{1}+\beta_{2}b_{2}\right>=\left<x,y\right>$

und damit ist die Orthogonalität von $Q$ gezeigt

Comments

Das klingt ja alles recht plausibel, aber z.B. hier geht hervor, dass das Skalarprodukt von zwei Orthogonalbasen = 0 ist!?

<b_i , b_j> = 0 ∀ i, j ∈ {1,....,n}, i ≠ j  ? Oder verstehe ich das falsch?

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Orthonormalbasis#Definition_und_Existe…

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Das klingt ja alles recht plausibel, aber z.B. hier geht hervor, dass das Skalarprodukt von zwei Orthogonalbasen = 0 ist!?

Das rote hast du falsch verstanden: Hier steht: Das Skalarpodukt zweier verschiedener Basisvektoren von ein und derselgen Orthonormalbasis ist 0.

Du musst ja zeigen dass die Abbildung orthogonal ist, nicht die Basis, d.h. das Skalarprodukt nicht verändert und damit winkeltreu ist. Genau das macht JoeTheCrow. Einfach mit Q statt A.

https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalität#Orthogonalit.C3.A4t_in_…

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Jetzt habe ich es verstanden...

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Ja sorry, da fehlt ein paarmal $\cdot 0$, wo du die Skalarprodukte ziehst, aber $\left<b_{1}, b_{2}\right>=\left<Q(b_{1}),Q(b_{2}) \right>$ ist hier entscheident. Und in der zweiten Zeile ist das ein Tippfehler

Bei diesen recht langen Formelpassagen hab ich wohl ein bisschen den Überblick verloren, ich entschuldige mich dafür

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Ist die Aufgabe nicht in sich schon beantwortet? Sie sagt, dass Q die ONB-Vektoren b1 und b2 in zwei Vektoren abbildet die wieder eine ONB bilden oder hab ich das falsch verstanden?? Wendet man jetzt die Def. Einer orthogonalen Transformation an, sieht man dass das Skalarprodukt von b1 und b2 0 ist und das Skalarprodukt von Qb1 und Qb2 auch 0 ist da diese ja laut Aufgabe wieder eine ONB sind oder hab ich da jetzt einen Denkfehler??