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Aufgabe:

Gegeben sind die komplexen Zahlen \( z_{1}=4-5 j, z_{2}=7+4 j, z_{3}=-1+j \) und \( z_{4}=0,5+j \)
a) Berechnen Sie
$$ z=\frac{z_{1}-\overline{z_{2}}}{\overline{z_{3}} \cdot z_{4}} $$
und geben Sie das Ergebnis in Normalform an.


d) Wie lautet die Normalform der komplexen Zahl \( z=2 e^{\pi j ?} \)


Problem/Ansatz:

!


Ich habe zwei Baustellen, die ich nicht lösen kann. Zu a) Was bedeutet der Strich über die z´s? und wie berechne ich das?

Zu b) Wie soll ich das in die Normalform verwandeln?


Ich hoffe mir kann jemand helfen und bedanke mich im Voraus!

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1 Antwort

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Aloha :)

Der Strich über einer komplexen Zahl bedeutet "komplex konjugiert". Dabei ändert man das Vorzeichen des Imanginärteils. Man kann sich merken: "Aus \(-i\) wird \(+i\) und umgekehrt." Wichtig ist noch, dass \(i^2=-1\) gilt. Schauen wir uns damit mal deine Aufgaben an:

$$z=\frac{(4-5i)-\overline{(7+4i)}}{\overline{(-1+i)}\cdot(0,5-i)}=\frac{(4-5i)-(7-4i)}{(-1-i)\cdot(0,5-i)}=\frac{-3-i}{-0,5-0,5i+i+i^2}$$$$\phantom{z}=\frac{-3-i}{-1,5+0,5i}=\frac{(-3-i)\cdot(-2)}{(-1,5+0,5i)\cdot(-2)}=\frac{6+2i}{3-i}=\frac{(6+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}$$$$\phantom{z}=\frac{18+6i+6i+2i^2}{9-3i+3i-i^2}=\frac{16+12i}{10}=\frac{8}{5}+i\,\frac{6}{5}=1,6+1,2\,i$$

Bei der nächsten Aufgabe hilft die Euler-Gleichung \(e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\,\sin\varphi\) weiter:$$z=2e^{i\pi}=2\left(\underbrace{\cos\pi}_{=-1}+i\,\underbrace{\sin\pi}_{=0}\right)=2\cdot(-1)=-2$$

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