Jordan Normalformen für gegebenes Minimal Polynom:

Question

Hey,

Ich wollte die möglichen Jordan Normalformen bilden, wenn man $\chi(X)=(X-2)^{2}(X-1)$ als Charakteristisches Polynom hat und $f_{1}(X)=(X-2)^{2}(X-1)$ sowie $f_{1}(X)=(X-2)(X-1)$ als Minmalpolynome hat.
Für $f_{1}$ :
$J=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ Das macht auch Sinn, dass die Jordanform so aussieht, wenn Charakteristisches und
Minimalpolynom gleich sind. Nun ist es doch aber so, das die Vielfachheit beim Minimalpolynom die Anzahl der Jordankäschen in einem Jordanblock angibt. Also müsste es doch 2 Jordankästchen geben. Also kann es doch nur so aussehen:
$J=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ und es hat Diagonalgestallt.
Für $f_{2}$
Hier sieht es auch so aus:
$J=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
Diese Aufgabe ist durch Zufall in meinem Kopf entstanden. Vielleicht liegt es auch an der Aufgabenstellung.
Danke für die Hllfe!