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Im Standardraum \( (\mathbb{F_5})^5  \) betrachten wir den \( \mathbb{F_5} ( = \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) \)-Unterraum

\( U_1 = ⟨ \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\0\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4\\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1\\-1\\0\\1\\1 \end{pmatrix}  ⟩  \)

Bestimmen Sie Dimension und eine Basis von U_{1}.

Ich wollte jetzt erstmal schauen, ob die drei Vektoren lin. unabhängig sind, dann wären Sie als linear unabhängiges Erzeugendensystem eine Basis und dann hätte ich ja auch schon die Dimension. Ich bin mir aber nicht sicher wie ich die lin. Unabhängigkeit berechne.

\( x\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\0\\2 \end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4\\0 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\0\\1\\1 \end{pmatrix}  = 0 \) 


                     x +  y    - z  = 0

                      2x + 2y - z = 0

 \( \Longleftrightarrow \)              x + 3y        = 0

                           4y + z   = 0

                     2x         + z = 0

Muss ich hier beim Lösen des LGS schon wie in Z/5Z rechnen, oder kann ich das später umrechnen und erstmal "ganz normal" Rechnen? Wäre das LGS nicht sonst sehr aufwendig?

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Hallo

 da ja nur sehr kleine Zahlen vorkommen, ist es egal, wann du auf mod 5 umstellst, Das GS ist so einfach. dass du aus 2*I-II schon z=0 und dann aus den anderen x=0 und y=0 folgern kannst.

d.h. die 3 sind lin unabhängig und damit ne Basis des UR

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Da war ich wohl einfach zu sehr von den 5 Gleichungen abgeschreckt.

Wenn ich einen weiteren UVR mit gegebener Basis gegeben hätte, wie würde ich dann dieselbe Aufgabenstellung für U ∩ V und U + V lösen?

Als finden von Dimension und Basis.

Wenn ich eine Dimension von U ∩ V oder U + V von bestimmt habe, kann ich ja mit der Dimensionsformel für Summen das andere berechnen.

Aber wie bestimme ich die Basis von denen oder eben dann die Dimension von einem?

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