Beweis das eine Menge eine Basis ist, wenn 2 von 3 gegebenen Eigenschaften gelten

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

13.4 Sei $V$ ein Vektorraum mit $\operatorname{dim}(V)=n$ und $\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \subseteq V$. Beweisen Sie, dass $\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\}$ eine Basis von $V$ ist, genau dann wenn zwei der folgenden Aussagen gelten:
(1) $v_{1}, \ldots, v_{k}$ sind linear unabhängig.
(2) Es gilt $V \subseteq\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle$.
(3) Es gilt $k=n$.
(4 Punkte)

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aupgabe 13.4 Sä V VR mit dim $(V)=n$ und $\left\{v_{A}, \ldots, v_{n}\right\} \subseteq V$. Beweise, dan $\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\}$ eive Basis von $V$ ist g.d.w zweie des folgenden Aunagen gillen.
(1) $v_{1}, \ldots, v_{k} \ell . u$.
(2) Es git $v \underline{c}\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle$
(3) Es gilt $k=n$
2.2. ist $:(a)$ wemn $\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\}$ Basis won $V$, gelten die Eigenscliaften $(1),(2),(3)$.
(b) wemn (1) and (2) $g i\left(t\right.$, ist $\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\}$ Basis von $V$
(c) wenn ( $\left(\right.$ ) und (3) gitt, ist $\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\}$ basis von $V$
(d) wenn (2) und (3) git, ist $\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\}$ 3asis von $V$
(a) Sei $\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\}$ aine Basis von $V$, d.h nach Def. 2.22 eines Basis ist $v_{1}, \ldots, v_{k} \ell . u$, d.h. es gilt funage $(1)$ und und $V=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle$,also $\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle$ eizeugt den gesamten $V$-VR sodan daraus folgt, dass $V_{\underline{c}}\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle$ also Aunage (2) gilt.
Bleibt z.z. dan Aunage (3) folff, wenn $\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\}$ ciue Basis ven $V$ ist. Vach Definition de Dimension ist $\operatorname{dim}(V) \operatorname{die}$ Anzahl de Vehtoren einer Basis, d.h. $\operatorname{dim}(V): n$. Da $\left\{v_{n}, \ldots, v_{k}\right\}$ aire Basis von $V$ ist gilt $\operatorname{dim}(V)=k$ (auffirund des indexes ian $1, \cdots, k$ ), wanach $k=n$ getten mun, sodan auch Aunage 3 gilt.
(b) Seis $v_{1}, \ldots, v_{k}, l$. u. and $v \leqslant\left\langle v_{11}, \ldots, v_{k}\right\rangle$, d.h $v_{11}, v_{k}$ ist eiu erzeugendes system won $v$ und linear unablängis, dann folgt aus Jef. 2.2 .2 einer Basis, dan $v_{1}, \ldots, v_{k}$ äne Basis wn $v$ ist $\checkmark$ ist
(c) Sei $v_{1}, \ldots, v_{k}$ lu. und $k=n$, darm ist $v_{1}, \ldots, v_{2}$ eive línear unabhängise Henge sodan die and da dein $(V)$ nach Def. die Anzalel de Vektoren eiver Basis fi $V$ ist, ist $\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\}$ eive Basis vonV.
(d) Sei $V \leq\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle$ und $k=n$, dann ist $\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle$ ein eczeugendes system von $V$, sodan $V=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle$ gilt und die 1. Eigenschaft für cine Zaris nach Def. 2.22 somit gitt. Weitshin ist nach Annahme $\operatorname{dim}(V)=n$ und da $k=n g$ ilt, ist $\operatorname{dim}(V)=k$ und da $\operatorname{dim}(V)$ nach Def. die Anzahl du Vektoren eiver Basis fü $V$ ist, ist $\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\}$ eine Basis von $\Rightarrow$ Da sowbled alle Eigenschaften getten, wenn $v_{1}, \ldots, v_{k}$ aive zasis von $V$ ist und $v_{1} \ldots v_{k}$ äne Basis von $V$ wenn 2 des 3 Eigenschagten gelten, ist die Aunage bewéesen

Dies sind meine Lösungen zur obigen Aufgabe. Ist dieser Beweis so ausreichend . M7r scheinen die Argumente einfach zu trivial

Comments

Leider schlecht lesbar.

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Also eigentlich ist das ein Screenshot von meinem Tablet und wenn ich mir den Post über den Laptop öffne, kann ich das Bild eigentlich gut lesen. Hast du vielleicht eine Idee wie ich es besser zeigen kann. (also meinen Lösungsweg)

Answer 1

Ich habe es mal was vergrößert, dann geht es.

Bei der Aufgabe ist das Problem, dass man genau wissen müsste,

was ihr schon bewiesen habt.

Bei c) argumentierst du z.B.

dim ist die Anzahl der Vektoren einer Basis und schließt:

Es sind n linear unabhängige Vektoren, also ist es eine Basis.

Vielleicht sollte man eher so argumentieren:

$v_{1}, \ldots, v_{k}$  sind lin. unabhängig und k=n

==>  Da alle v_i in V sind ist auch das Erzeugnis von $v_{1}, \ldots, v_{k}$

ein Unterraum von V und weil sie lin. unabh. sind bilden sie

eine Basis des von ihnen erzeugten Unterraumes von V.

Der hat also die gleiche Dimension wie V, und ist deshalb gleich V,

also bilden $v_{1}, \ldots, v_{k}$ eine Basis von V.