$$\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}-6x+2\ln^2\left(y\right)-18\\\dfrac{4x\ln\left(y\right)}{y} \end{pmatrix}=0$$ und daher \((-3,1)\), \((0,e^{-3})\) und \((0,e^3)\) als kritische Punkte. Die Hessematrix lautet:$$H_f(x,y)=\begin{pmatrix} 6 & \frac{4\ln(y)}{y} \\ \frac{4\ln(y)}{y} & \frac{4x}{y^2}-\frac{4x\ln(y)}{y^2} \end{pmatrix}$$ Es gilt \(H_f(-3,1)=\begin{pmatrix} -6 & 0\\ 0 & -12 \end{pmatrix}\). Diese Matrix hat ausschließlich negative Eigenwerte und daher ist \(f(-3,1)\) ein lokales Maximum.
