Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x und y, sodass der Vektor in lim(v1,v2,v3,v4) liegt (LGS lösen)

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Vektoren aus \( \mathbb{R}^{4} \) :

$$ v_{1}=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad v_{4}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {2} \\ {-2} \end{array}\right) $$

Bestimmen Sie alle reellen Zahlen \( x \) und \( y \), sodass der Vektor \( v=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {x} \\ {y}\end{array}\right) \) in \( \lim \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \) liegt.

Problem/Ansatz

Ich habe versucht, das LGS zu lösen, um dann x und y zu berechnen. Ich habe dennoch Schwierigkeiten gehabt, das Gleichungssystem zu lösen.

Answer 1

Aloha :)

Die 4 Vektoren \(v_1,v_2,v_3,v_4\) sind linear abhängig. Wir sollten daher eine einfache Basis für \(\text{lin}(v_1,v_2,v_3,v_4)\) berechnen können:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\1 & 0 & -2 & 3\\1 & 1 & 2 & -2\end{array}\right)\;\begin{array}{c}{}\\{}\\{-Z1}\\{-Z1}\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & -1 & -3 & 2\\0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\;\begin{array}{c}{}\\{}\\{+Z2}\\{}\end{array}\quad\to$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & 0 & -1 & 3\\0 & 0 & 1 & -3\end{array}\right)\;\begin{array}{c}{}\\{}\\{\cdot(-1)}\\{+Z3}\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & -3\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$Also ist:$$\text{lin}(v_1,v_2,v_3,v_4)=\text{lin}\left(\,\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\\1\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\-3\end{array}\right)\,\right)$$Der Vektor \((1,1,x,y)^T\) ist genau dann eine Linearkombination der 3 Basis-Vektoren, wenn die Determinante aus ihm und den 3 Basis-Vektoren verschwindet:$$0\stackrel{!}{=}\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & -3\\1 & 1 & x & y\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & -3\\0 & 0 & x-1 & y-1\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & -3\\0 & 0 & 0 & (y-1)+3(x-1)\end{array}\right|=(y-1)+3(x-1)=3x+y-4$$$$\leadsto\quad \underline{3x+y=4}$$

Answer 2

Die Menge M := {v₁,v₂,v₃,v₄} ist linear unabhängig. Wegen |M| = dim(ℝ⁴) ist lin(v₁,v₂,v₃,v₄) = ℝ⁴. Also ist v ∈ lin(v₁, v₂, v₃, v₄) für alle x,y ∈ ℝ.

Ich habe versucht  das LGS zu lösen

Welches LGS?

Ich habe dennoch Schwierigkeiten gehabt, das Gleichungssystem zu lösen.

Hast du diese Schwierigkeiten mittlerweile überwunden? Falls nicht, an welcher Stelle kommst du nicht mehr weiter?

Comments

1    0      1    1      |     1

1    1      0    1      |     1

1     2    - 2    2     |     x

1     1     3    - 2    |     y

Ich wollte das LGS lösen um daraufhin x und y zu berechnen. ..

Ab diesem Schritt bin ich nicht mehr weiter gekommen  :

1    0      1    1     |    1
0    1     - 1   0     |    0
0    2     - 3    1   |    x-1
0    0    3     - 3   |    y-1

Ich komme nicht mehr weiter.. Habe ich zwischendurch einen FehFehler gemacht ?

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Habe ich zwischendurch einen FehFehler gemacht ?

Keinen mathematischen. Allerdings schreibt man Fehler nur mit einem Feh.

Du könntest jetzt weiter rechnen indem du von der dritten Zeile das doppelte der zweiten Zeile abziehst und dann von der vierten Zeile das dreifache der dritten Zeile addierst. Dann hast du Zeilenstufenform.

Falls dir die Parameter auf der rechten Seite missfallen, dann kannst du sie in Variablen auffassen:

\(\begin{aligned} &  & p\cdot\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+q\cdot\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\\ -2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}1\\ 1\\ x\\ y \end{pmatrix}\\ & \iff & p\cdot\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+q\cdot\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\\ -2 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+x\cdot\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\\ & \iff & p\cdot\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+q\cdot\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\\ -2 \end{pmatrix}+x\cdot\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}\)