Lineare Abbildung φ:R⁴→R⁴ mit 4x4 Matrix

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die lineare Abbildung φ:R^4→R^4, deren darstellende Matrix (bezüglich der Standardbasis im R^4) von der folgenden Form ist:

A= −2  4  2  6

        4 −2 −2 −2

        0 6  6  8

        8  2−6  8

(4x4 Matrix)

(a)  Bestimmen Sie eine Basis des Kerns der linearen Abbildung.

(b)  Bestimmen Sie eine Basis des Bildes der linearen Abbildung.

(c)  Welchen Rang hat die Matrix A? Ist die Abbildung φ injektiv bzw. surjektiv?

Problem/Ansatz:

Wie löse ich die Aufghaben?

Answer 1

Bestimmen Sie eine Basis des Kerns der linearen Abbildung.

Wende auf die Matrix den Gauss-Algorithmus an, das könnte geben

4   1   -3   4
0   3    3   4
0   0    2   -1
0   0    0    0

Also kannst du die 4. Komponente eines Elementes des Kerns

frei wählen, etwa x4=t und dann

2x3 - t = 0 ==>   x3 = t/2

und  3x2 +3t/2 +2t = 0 ==>  x2 = - 11t/6

und  4x1 - 11t/6 -3t/2 + 4t = 0 ==>  ´-t/6

==>  Die Elemente des Kerns sehen alle so aus

( -t/6 ; - 11t/6  ;  t/2  ; t ) also ohne die t's hast du

einen Basisvektor oder einfacher ( -1 ; -11; 3 ; 6 ) .

(b)  Bestimmen Sie eine Basis des Bildes der linearen Abbildung.

Kern 1-dimensional ==>  Bild 3-dimensional, also

bilden die ersten 3 Splaten der Matrix (die sind ja lin. unabh.)

eine Basis des Bildes 

(c)  Welchen Rang hat die Matrix A? Ist die Abbildung φ injektiv bzw. surjektiv?

rg=3 weder Injektiv ( Kern ist 1-dim) noch surjektiv (Bild ist 3-dim)

Comments

Wende auf die Matrix den Gauss-Algorithmus an, das könnte geben

4  1  -3  4
0  3    3  4
0  0    2  -1
0  0    0    0

Also kannst du die 4. Komponente eines Elementes des Kerns

frei wählen, etwa x4=t und dann

Hier komme ich nicht ganz mit. Woher nimmst du x4 = t?

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Die letzte Gleichung heißt ja

0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0

Das stimmt immer.

Da die Stufenform dazu dient bei gegebenem x4

die anderen auszurechnen, wählst du halt das x4 irgendwie

(beschrieben durch eine Variable) etwa t.