Analytische Geometrie Geraden, Schnittpunkt ausrechnen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes S.

a) g:x->= (5/0/1) + t • (2/1/-1) ; h:x->= (7/1/2) + t • (-6/-3/3)

b) g:x->= (5/5/1) +t • (1/2/0) ; h:x->= (-5/-15/1) + t • (-0,5/1/0)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich hier anfangen soll und würde mich über Hilfe freuen und Danke schon mal im Voraus! :)

Comments

Man kann ohne Rechnerei sehen, dass bei a) die beiden Richtungsvektoren die gleiche Richtung haben, und bei b) nicht.

Answer 1

a) g:x->= (5/0/1) + t • (2/1/-1) ; h:x->= (7/1/2) + t • (-6/-3/3)

Die Richtungsvektoren sind linear Abhängig. Damit sind die Geraden identisch oder parallel.

[5, 0, 1] + t·[2, 1, -1] = [7, 1, 2] → Es gibt keine Lösung, damit sind die Geraden parallel.

b) g:x->= (5/5/1) +t • (1/2/0) ; h:x->= (-5/-15/1) + t • (-0,5/1/0)

Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig, damit schneiden sich die Geraden oder sind Windschief.

[5, 5, 1] + s·[1, 2, 0] = [-5, -15, 1] + t·[-0.5, 1, 0] --> s = -10 ∧ t = 0 → S = [-5, -15, 1]

Die Geraden schneiden sich und der Schnittpunkt ist (-5 | -15 | 1).

Comments

wie hast du herausgefunden das die Richtungsvektoren linear abhängig/unabhängig sind ?

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Wenn ein Richtungsvektor ein Vielfaches des anderen ist, dann sind sie linear abhängig

-3 * (2/1/-1) = (-6/-3/3) → stimmt oder

-0.5 * (1/2/0) = (-0,5/1/0) → hier stimmen leider nicht alle drei Komponenten

Answer 2

Zwei Geraden können prinzipiell vier verschiedene Lagen zueinander haben:

1. identisch

2. parallel

3. schneidend

4. windschief

$$ g: \vec x=\vec a + r\cdot\vec u ~~~~~~~~~~~~~h: \vec x=\vec b + s\cdot\vec v $$

So gehst du vor:

Sind die Richtungsvektoren linear abhängig?

           Gilt \(\vec u =k \cdot \vec v\) ?

           Ja → identisch oder parallel

                       Liegt ein Punkt von \(h\) auf \(g\)?

                       Gibt es eine Zahl \(r\), sodass die Gleichung

                       \(\vec b=\vec a + r\cdot \vec u\) erfüllt ist?

                       Ja → identisch

                      Nein → parallel

           Nein → schneidend oder windschief

                      Gibt es einen gemeinsamen Punkt?

                      Gleichsetzen:

                       \(\vec a + r\cdot\vec u =\vec b + s\cdot\vec v\)

                       Du erhältst drei Koordinatengleichungen für \(r\) und \(s\).

                       Bestimme die Werte mit zwei Gleichungen.

                       Überprüfe, ob die dritte Gleichung auch erfüllt ist.

                       Ja → schneidend

                      Nein → windschief