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wir haben ein neues Thema und zwar das Thema der Analytischen Geometrie. Dieses Thema fällt mir wirklich schwer zu verstehen, könntet ihr vielleicht mir bei diesen Aufgaben helfen?




1. Durch die Punkte A1(–1 | –7 | –2) und B1(3 | –1 | 0) bzw. A2(7 | 4 | 5) und B2(3 | 0 | –3) verläuft je eine Gerade g1 bzw. g2.


a) In welchem Punkt schneiden sich diese Geraden?
b) Unter welchem Winkel schneiden sich diese Geraden?



2. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E. Zeigen Sie vor Beginn Ihrer Rechnung, dass dieser Schnittpunkt existiert!

E: x→ = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} \) + r • \( \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \) + s • \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\3 \end{pmatrix} \)


g: x→ = \( \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} \) + t • \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \)

von

anbei die Szene aus Aufgabe 2 im Geoknecht3D

blob.png

(klick auf das Bild)

Anschaulichkeit hilft bei der Analytischen Geometrie ungemein.

2 Antworten

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Beste Antwort

1a)

Zunächst musst du die Gleichungen der beiden Geraden bestimmen:

g1: \(\vec{x}\)= \( \begin{pmatrix} −1\\−7\\−2 \end{pmatrix} \) + r· \( \begin{pmatrix} 4\\6\\2 \end{pmatrix} \)

g2: \(\vec{x}\)= \( \begin{pmatrix} 7\\4\\5 \end{pmatrix} \) + s· \( \begin{pmatrix} −4\\−4\\−8 \end{pmatrix} \)

Diese musst du nun gleichsetzen, also:

\( \begin{pmatrix} −1\\−7\\−2 \end{pmatrix} \) + r· \( \begin{pmatrix} 4\\6\\2 \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} 7\\4\\5 \end{pmatrix} \) + s· \( \begin{pmatrix} −4\\−4\\−8 \end{pmatrix} \)

Das LGS würde dann so aussehen:

−1+4r = 7−4s

−7+6r = 4−4s

−2+2r = 5−8s,

das musst du jetzt nur noch auflösen und du erhältst r=... und s=.... Die kannst du dann in g1 bzw. g2 einsetzen um den Schnittpunkt zu berechnen.


1b)

cos (α)= \(\huge{\frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}} \), wobei \(\vec{u}\) der Richtungsvektor von g1 und \(\vec{v}\) der Richtungsvektor von g2 ist.

2)

Die Ebenengleichung könntest du in die Koordinatenform umwandeln und dann die Koordinaten von g dort einsetzen.

Koordinaten von g wären:

x=2+t

y= 2−t

z= 1+t

Du erhältst dann t=... und setzt dies dann in g ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen. Falls dir die Koordinatenform unbekannt vorkommt, kannst du wie in Aufgabe 1) E und g gleichsetzen und das LGS lösen.

von

Danke für deine Antwort! :)

Wofür steht denn r, s und t denn?


und mit LGS ist das Lineare Gleichungssystem gemeint? Kann ich da also das Additionsverfahren oder etc. benutzen?

Wofür steht denn r, s und t denn?

In den Geradengleichungen sind das die Geradenparameter.


du erhältst r=... und s=....

Falls du die hier meinst. Die stehen für die Lösungen des LGS. Nehmen wir mal an es würde r=4 und s=1 rauskommen. Das bedeutet dann einfach, dass wenn du r=4 in g1 und s=1 in g2 einsetzt, du bei beiden Geradengleichungen den selben Vektor bekommen würdest. Dieser Vektor wäre dann der Schnittpunkt der beiden Geraden


und mit LGS ist das Lineare Gleichungssystem gemeint?

Genau


Kann ich da also das Additionsverfahren oder etc. benutzen?

Stichwort - Gaußverfahren

Ok, vielen Dank.. ich werde mein Bestes geben um diese Aufgaben zu lösen..

Schreib nochmal, falls du i.wo nicht weiterkommen solltest

Hallo,

wie bist du eigentlich bei a) bei g1 auf \( \begin{pmatrix} 4\\6\\2 \end{pmatrix} \)  gekommen und bei g2 auf \( \begin{pmatrix} -4\\-4\\-8\end{pmatrix} \) ??

\(g1: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\ \cdot \overrightarrow{AB}\\= \begin{pmatrix} -1\\-7\\-2 \end{pmatrix}+r\ \cdot \begin{pmatrix} 3-(-1)\\-1-(-7)\\0-(-2)\end{pmatrix}\\= \begin{pmatrix} -1\\-7\\-2 \end{pmatrix}+r\ \cdot \begin{pmatrix} 4\\6\\2\end{pmatrix}\\ g2: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\ \cdot \overrightarrow{AB}\\= \begin{pmatrix} 7\\4\\5 \end{pmatrix}+s\ \cdot \begin{pmatrix} 3-7\\0-4\\-3-5\end{pmatrix}\\= \begin{pmatrix} 7\\4\\5 \end{pmatrix}+s\ \cdot \begin{pmatrix} -4\\-4\\-8\end{pmatrix} \)

Oh! Vielen dank!


Bei 1b) weiß ich nicht genau was ich da einsetzen soll..

Muss ich bei u g1 gleichung einsetzen und bei v g2 gleichung???

\(\vec{u}\) steht für den Richtungsvektor von g1, also:

\(\begin{pmatrix} 4\\6\\2\end{pmatrix}\)

und

\(\vec{v}\) steht für den Richtungsvektor von g2, also:

\(\begin{pmatrix} −4\\−4\\−8\end{pmatrix}\).

Die beiden Vektoren musst du in die Formel einsetzen

Also,


cos (α) = \( \begin{pmatrix} 4\\6\\2 \end{pmatrix} \) • \( \begin{pmatrix} -4\\-4\\-8 \end{pmatrix} \) / \( \begin{pmatrix} 4\\6\\2\end{pmatrix} \) • \( \begin{pmatrix} -4\\-4\\-8 \end{pmatrix} \)




Ist das so richtig? Wenn ja, wie tippt man das im Taschenrechner ein...

Nicht ganz richtig,

sagt dir der Betrag eines Vektors was?

Leider nein.. :/ muss man diese Striche auch davor einsetzen?

Hmm dir fehlen jegliche Grundlagen. Ich würde dir dringendst raten Nachhilfe zu nehmen, da das auf Dauer nicht gut gehen wird...

Mit dem Betrag eines Vektors ist das hier gemeint:

|\(\vec{v}\)|=\(\left|\begin{pmatrix} 4\\ 6\\2\end{pmatrix} \right|\)=\(\sqrt{4^{2}+6^{2}+2^{2}} \)

Dies musst du im Nenner anwenden.

Im Zähler bildest du zunächst das Skalarprodukt und nimmst dann von dem Ergebnis den Betrag.

Heißt wenn im Zähler z.B. |−12| rauskommen würde, dann würde im Zähler nur noch 12 stehen.

Ich hoffe das hilft dir jetzt weiter. Ansonsten kannst du ruhig wieder schreiben

Dankeschön!


Ich habe bei a) g1 = \( \begin{pmatrix} 2\\-33\\-1 \end{pmatrix} \) raus. Ist das richtig wie ich es berechnet habe? Ich habe den ersten Vektor + 1,5 (r) gerechnet, das Ergebis dann mit dem zweiten Vektor multipliziert.

r=1,5 stimmt schonmal,

Wenn du jz r=1,5 in g1 einsetzt, um den Schnittpunkt zu bestimmen, musst du die Punkt vor Strichrechnung beaxhten.

D.h. erst den Richtungsvektor mit 1,5 multiplizieren und dann mit dem Stützvektor addieren

Stimmt! Habe ich ganz vergessen..


Ich habe 5,2,1 raus, heißt das, dass der Schnittpunkt bei 5,2,1 liegt?

jep

richtig

Vielen lieben Dank! :))

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zu 1) Erst die Gleichungen von g1 und g2 bestimmen und diese dann gleichsetzen. Hat das System der Koordinatengleichungen genau eine Lösung, kann man damit den Schnittpunkt bestimmen. Hat es keine Lösung, sind die Geraden windschief.

Zu 2) Gleichsetzen und drei Koordinatengleichungen mit 3 Unbekannten lösen. Es gibt eine Lösung, wenn nur die triviale Linearkombination der drei Richtungsvektoren den Nullvektor ergibt.

von 99 k 🚀

Hallo,

danke für deine Antwort.

Das Thema ist sehr neu und daher weiß ich nicht was genau ich machen muss. Könnest du es mittels Rechenwegen erklären?

Was kannst du schon?

Geradengleichung aus zwei Punkten bilden?

Vektorgleichungen gleichsetzen?

Gleichungssysteme aus Koordinatengleichungen lösen?

Linearkombinationen herstellen?

Nach deinen Antworten antworte ich.

Ich weiß nur die Grundlagen von Vektoren, also ich weiß wie man einen Vektor bezeichnet oder a-> • b-> = ....ausrechnet halt nur die Grundlagen der Linearen Algebra etwas

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