Beweis durch Widerspruch

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie durch Widerspruch dass ∀r∈ℝ mit r<0 gilt:

-r(r+1) ≤ \( \frac{r}{r-1} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Idee wie ich hier rangehen kann.

Hat jemand zumindest eine Idee?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Beweis durch Widerspruch geht immer so,

dass man annimmt, die Aussage sei falsch, hier

also :  Es gäbe ein r<0 mit

-r(r+1) > \( \frac{r}{r-1} \)

wegen r<0 ist auch  r-1 < 0 also dreht sich beim

Multiplizieren mit dem Nenner das <-Zeichen um:

<=>  -r(r+1)(r-1) < r

 jetzt durch r (geht, da nicht 0) , wieder Zeichen umdrehen

<=>  -(r+1)(r-1) > 1

<=>  -(r^2-1) > 1

<=>  1-r^2 > 1   | -1

<=>   -r^2 > 0

<=>   r^2 < 0 . Quadrate reeller Zahlen sind aber nie

kleiner als 0, also ein Widerspruch.

Anzunehmen die gegebene Aussage sei falsch, führt also

auf einen Widerspruch, dann muss sie also wahr sein.