Basis bestimmen Basiswechselmatrix

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die lineare Abbildung φ : R2 → R2, die bzgl. der Basis B= \( \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)

durch M_BB(φ)=\( \begin{pmatrix} 1& 2 \\ 3& 4 \end{pmatrix} \)  gegeben ist. Zeigen Sie , dass es KEINE Basis B′ von R2 gibt, so dass M_B‘B‘(φ) = \( \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \) gilt.

Problem/Ansatz

In der Aufgabe stand dass man es ausrechnen kann. Ich habe es dann die Formel umgestellt

M_BB(φ) = T_{BB‘ *} M_B‘B‘(φ) _* T_B‘B

M_BB(φ) * M_B‘B‘(φ)^-1 = T_{BB‘ *} T_B‘B = \( \begin{pmatrix} -4,5 & 2,5 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)

Ich bin mir nicht sicher ob das so Funktioniert.

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte

Answer 1

Es funktioniert so eben nicht - wie erklärst Du die Umstellung Deiner Matrixgleichung?

Sei {b'₁,b'₂} eine Basis, dann ist die aus diesen Vektoren zusammengesezte Matrix eine Basiswechselmatrix von B' nach B

T_B'B ={{b'₁₁,b'₁₂},{b'₂₁,b'₂₂} = besser _BT_B'

und _BT_B'^-1
wechselt von B nach B',  zusammengesetzt

_BT_B'^-1 _BM_{B B}T_B' = _B'M_B'
 
 BM_{B B}T_B' = _BT_{B' B'}M_B'

\(\small \left(\begin{array}{rr}-2 \; b'_{11} - b'_{12} + 2 \; b'_{21}&-b'_{11} - 3 \; b'_{12} + 2 \; b'_{22}\\3 \; b'_{11} + b'_{21} - b'_{22}&3 \; b'_{12} - b'_{21}\\\end{array}\right)\)

\(\small \left\{  \left\{ b'_{11} = 0, b'_{12} = 0, b'_{21} = 0, b'_{22} = 0 \right\}  \right\} \)

Comments

Warum ist dann B‘ keine Basis weil die Elemente alle Null sind?

Kannst du das vielleicht näher erläutern?

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Ich meine nicht, daß man das näher erläutern muss.

Kommt in Deinen Definitionen eine Basis aus 0-Vektoren vor?

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Ahso verstehe da Nullen rauskommen kann es keine Basis sein aber wie kommt man denn genau auf die Nullen wie hast du das denn berechnet genau?

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hm,

Du hast doch einen Ansatz abgegeben, den hab ich in die richtige Form gebracht und die letzte Matrixgleichung in das dazugehörige Gleichungssystem aufgelöst- es fehlt jeweils =0 (das schreibt mein CAS nicht).

4 Gleichungen in den koeffizienten der b’_ij  , die musst du lösen und feststellen, dass es nur eine triviale Lösung gibt.