Berechneter Fourier-Koeffizient hat falsches Vorzeichen, dadurch Fourier-Reihe gespiegelt

Question

Aufgabe:

Bestimme die Fourierreihendarstellung der Funktion f(x)=\( \frac{π-x}{2} \), x∈(0,2π), welche 2π-periodisch auf ganz ℝ erweitert wird.

Problem/Ansatz:

ich habe die folgenden Fourier-Koeffizienten berechnet:
a_n=0, b_n= -\( \frac{1}{n} \)

Wenn ich mir die so entstandene Fourier-Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{-\frac{1}{n}sin(nx)} \) bei WolframAlpha plotte sieht das auch "fast richtig" aus (vgl. Bild), ist aber an der x-Achse gespiegelt. Für b_n= \( \frac{1}{n} \), also b_n positiv, scheint das Ergebnis richtig zu sein.

b_n habe ich wie folgt berechnet:

b_n=\( \frac{1}{π} \) \( \int\limits_{-π}^{π} \)\( \frac{π-x}{2} \)*sin(nx)dx = \( \frac{π*n*cos(π*n)-sin(π*n)}{π*n²} \) = \( \frac{π*n*cos(π)-sin(π)}{π*n²} \), da n∈ℕ, = \( \frac{π*n*(-1)}{π*n²} \)=\( \frac{-1}{n} \)

Wo könnte sich da ein Fehler eingeschlichen haben?

Answer 1

Mach eine Verschiebung des Definitionsbereichs um π nach links, dann kannst du leichter von -π bis π integrieren.

f(x) = -x/2 +sgn(x)*π/2,    x∈]-π,π[, x≠0

a_n = 0

b_n = 1/n

f(x) = \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{sin(nx)}{n}} \)  = stimmt!

mit n=10:

Comments

Hi noch mal, danke für die Hilfe!

Aber woran könnte es denn liegen, dass mein Vorzeichen falsch ist?
Es müsste doch auch eigentlich ohne Verschiebung des Definitionsbereichs funktionieren, oder?

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Dein f(x) links von der y-Achse ist falsch. Du integrierst in deiner letzten Zeile oben die rote Linie.

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Ahh, ich seh's! Noch mal vielen Dank!