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Guten Tag!

Aufgabe:

Bestimme die Fourierreihendarstellung der Funktion f(x)=\( \frac{π-x}{2} \), x∈(0,2π), welche 2π-periodisch auf ganz ℝ erweitert wird.


Problem/Ansatz:

ich habe die folgenden Fourier-Koeffizienten berechnet:
an=0, bn= -\( \frac{1}{n} \)

Wenn ich mir die so entstandene Fourier-Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{-\frac{1}{n}sin(nx)} \) bei WolframAlpha plotte sieht das auch "fast richtig" aus (vgl. Bild), ist aber an der x-Achse gespiegelt. Für bn= \( \frac{1}{n} \), also bn positiv, scheint das Ergebnis richtig zu sein.

bn habe ich wie folgt berechnet:

bn=\( \frac{1}{π} \) \( \int\limits_{-π}^{π} \)\( \frac{π-x}{2} \)*sin(nx)dx = \( \frac{π*n*cos(π*n)-sin(π*n)}{π*n²} \) = \( \frac{π*n*cos(π)-sin(π)}{π*n²} \), da n∈ℕ, = \( \frac{π*n*(-1)}{π*n²} \)=\( \frac{-1}{n} \)


Wo könnte sich da ein Fehler eingeschlichen haben?

fourier.PNG

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Mach eine Verschiebung des Def.bereichs um π nach links, dann kannst du leichter von -π bis π integrieren.

f(x) = -x/2 +sgn(x)*π/2,    x∈]-π,π[, x≠0

ver.jpg

an = 0

bn = 1/n

f(x) = \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{sin(nx)}{n}} \)  = stimmt!

mit n=10:

blob.png

von 4,2 k

Hi noch mal, danke für die Hilfe!

Aber woran könnte es denn liegen, dass mein Vorzeichen falsch ist?
Es müsste doch auch eigentlich ohne Verschiebung des Definitionsbereichs funktionieren, oder?

Dein f(x) links von der y-Achse ist falsch. Du integrierst in deiner letzten Zeile oben die rote Linie.

fehler.jpg

Ahh, ich seh's! Noch mal vielen Dank!

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