E funktion - wendestellen/ krümmung bestimmen

Question

Was tut man mit der möglichen wendestelle? Laut lösung ist der punkt (1|2/e). Woher bekomme ich dieses 2/e? Und woran erkenn ich dann wies gekrümmt ist?

Text erkannt:

(6) Wendestercen: \( 2 . \) Ableitung agelch o sterien \( f^{\prime \prime}(x) \doteq 0 \Leftrightarrow x \cdot e^{-x}-e^{-x}=0 \)
\( L=>e^{-x}:(x-7)=0 \)
\( L=7 \underbrace{e^{-x}=0}_{7} \vee x-7=0 \quad \Leftrightarrow x=7 \)

Comments

x = 1 in die Ausgangsfunktion einsetzen
Der Wendepunkt ist ( x | f(x) )

Ansonsten
f ´´ = e^(-x) * ( x - 1 )

Nachweis Linkskrümmung
e^(-x) * ( x - 1 ) > 0
e^(-x) ist stets > 0
und
x - 1 > 0
x > 1

Nachweis Rechtskrümmung
e^(-x) * ( x - 1 ) < 0
e^(-x) ist stets > 0
und
x - 1  < 0
x < 1

Rechtskrümmung x < 1
keine Krümmung bei x = 1
Linkskrümmung x > 1

So könnte ein Graph aussehen

Answer 1

Woher bekomme ich dieses 2/e?

x=1 in die Funktionsgleichung einsetzen.

Und woran erkenn ich dann, wies gekrümmt ist?

Wenn f '(0) <0, dann Linkskrümmung links vom Wendepunkt. Wenn f '(0)>0 dann Rechtskrümmung links vom Wendepunkt. Am WP ändert sich für f '(1)≠0 die Krümmung.