Matrix/Spiegelebene/Abbildung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Abbildungsmatrix S=

0	-1	0
-1	0	0
0	0	1

und der Punkt K(-4/2/4). Bei der Abbildung, die durch die Matrix S beschrieben wird, handelt es sich um eine Spiegelung an einer Ebene E.

Aufgabe: Bestimmen Sie eine Gleichung der Spiegelebene E.

Kontrollergebnis ( E: x-y=0)

Probelm

Ich habe als Ergebnis E: z heraus. Kann mir einer bitte zeigen wie man das rechnet...

Answer 1

Aloha :)

Wir lassen die Matrix $S=\left(\begin{array}{c}0 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$ auf den Punkt $K(-4|2|4)$ bzw. den zugehörigen Vektor $\vec k$ wirken:$$\vec k'=\left(\begin{array}{c}0 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-4\\2\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\4\\4\end{array}\right)$$Die Spiegelebene $E$ liegt genau in der Mitte der Strecke $\overline{KK'}$ und steht senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{KK'}$:

$$\overrightarrow{KK'}=\vec k'-\vec k=\left(\begin{array}{c}-2\\4\\4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-4\\2\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\2\\0\end{array}\right)$$Der Mittelpunkt $\vec m$ der Strecke $\overline{KK'}$ liegt bei

$$\vec m=\vec k+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{KK'}=\left(\begin{array}{c}-4\\2\\4\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}2\\2\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\2\\4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\3\\4\end{array}\right)$$Damit können wir die Ebenengleichung bestimmen:

$$\overrightarrow{KK'}\cdot\vec x=\overrightarrow{KK'}\cdot\vec m$$$$\left(\begin{array}{c}2\\2\\0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\2\\0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-3\\3\\4\end{array}\right)$$$$2x+2y=-6+6$$$$\underline{x+y=0}$$Offenbar ist in der Musterlösung ein Vorzeichenfehler.

Answer 2

Eine einfache Variante wäre, mit der Matrix den gespiegelten Punkt K' zu berechnen. E muss dann durch den Mittelpunkt von KK' gehen und auf KK' senkrecht stehen.

Comments

Ja, aber bei mir kam ja dann das falsche Ergebnis raus...

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Die angebliche Lösung x-y=0 ist falsch (oder eine Zahl in der vorgegebenen Matrix stimmt nicht).

Ich erhalte K'(-2|4|4). Der Vektor KK' ist somit $\begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix}$ und die Ebenengleichung hat die Form

2x + 2y + 0z = d.

Der Mittelpunkt der Strecke KK' ist (-3|3|4) und muss die Ebenengleichung erfüllen, was mit d=0 der Fall ist. Also ist die Ebenengleichung 2x+2y=0 bzw. (nach Division durch 2)

x+y=0.