Kritische Punkte mehrdimensional

Question

Aufgabe:

Ich betrachte die Abbildung $f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}, \ (x,y)\mapsto \ xy-x^2y^2$.

Gesucht sind nun die kritischen Punkte und diese sollen dann charakterisiert werden.

Ansatz:

Gradient: $\text{grad}(f(x,y))=\begin{pmatrix}y-2xy^2\\x-2x^2y \end{pmatrix}\stackrel{!}{=}\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}$. Also erhalte ich ein nichtlineares zu lösendes Gleichungssystem:

$(1)\quad y-2xy^2=0$

$(2)\quad x-2yx^2=0$

Für $x=0$ ist $y=0$, bzw. für $y=0$ ist auch $x=0$, sodass man einen ersten kritischen Punkt $(0,0)$ hat.

Für $x,y\neq 0$ erhalte ich:

$(1)\quad y-2xy^2=0$
$(2)\quad x-2yx^2=0$ bzw. dann

$(1)\quad 1-2xy=0$
$(2)\quad 1-2yx=0$, also $y=\frac{1}{2x}$. Also ist $(x,y)=(\alpha,\frac{1}{\alpha})$ eine weitere kritische Punkt-(Menge).

Hesse-Matrix:   $Hf(x,y)=\begin{pmatrix}-2y^2 & 1-4xy\\1-4xy & -2x^2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2,2}$

Für (x,y)=(0,0) erhalte ich  $Hf(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2,2}$. Charakteristisches Polynom: $P(t)=(t-1)(t+1)$, sodass diese Matrix indefinit ist, d.h $(0,0)$ ist für $f$ ein Sattelpunkt.

PROBLEM:

Für $(x,y)=(\alpha,\frac{1}{2\alpha})$ erhalte ich  $Hf(\alpha,\frac{1}{2\alpha})=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2\alpha^2} & -1\\-1 & -2\alpha^2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2,2}$. Charakteristisches Polynom: $P(t)=t(t+2\alpha^2+\frac{1}{2\alpha^2})$, sodass diese Matrix indefinit ist, d.h $(\alpha,\frac{1}{2\alpha})$ ist für $f$ ein Sattelpunkt.

Dieses Resultat finde ich verwirrend, denn wenn ich mal die obige Funktion plotten lasse, so bekomme ich eine geschwungene Fläche, die auf der Kurve $\frac{1}{2\alpha}$ maximale Werte animmt.... Was stimmt denn jetzt und wiso?

Comments

Hallo,

Dein charakteristisches Polynom besagt, dass ein Eigenwert von H gleich 0 ist und einer ist negativ. Dann kann man nicht entscheiden, was vorliegt. Hinreichen für einen Sattelpunkt ist ein negativer und ein positiver Eigenwert.

Beachte weiter, dass die Funktionswerte von f nur vom Produkt xy abhängen. Auf Kurven xy=const  ist f konstant. Mit dieser Info prüft man dann leicht, dass f auf der Kurve xy=1/2 ihr Maximum annimmt.

Gruß

Answer 1

Du hast alles richtig gerechnet, bis auf die Angabe des kritischen Punktes: $$(x,y)=(\alpha,\frac{1}{2\alpha})$$ Deine Matrix ist negativ semidefinit.In diesem Fall kann ein Maximum vorliegen, muss es aber nicht. Ein ziemlich unangenehmer Fall. Mit der Argumentation von mathepeter kannst Du aber zeigen, dass diese Funktion auf dieser Kurve ein Maximum annimmt.