Formel Herleitung in Abhängigkeit von t

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Geraden:

g₁ = \( \begin{pmatrix} 6\\-8\\1 \end{pmatrix} \) +t\( \begin{pmatrix} 3\\-1\\2 \end{pmatrix} \)

g₂ = \( \begin{pmatrix} -8\\20\\3 \end{pmatrix} \) +t\( \begin{pmatrix} 4\\-3\\1 \end{pmatrix} \)

Leiten Sie die Formel rechnerisch her.

d=\( \sqrt{984-144t+6t^2} \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Eine Formel Herleitung in Abhängigkeit von t

Stichworte: lineare-algebra

Aufgabe:

Gegeben sind die Geraden:

g₁ = \( \begin{pmatrix} 6\\-8\\1 \end{pmatrix} \) +t\( \begin{pmatrix} 3\\-1\\2 \end{pmatrix} \)

g₂ = \( \begin{pmatrix} -8\\20\\3 \end{pmatrix} \) +t\( \begin{pmatrix} 4\\-3\\1 \end{pmatrix} \)

Leiten Sie die Formel rechnerisch her.

d=\( \sqrt{984-144t+6t^2} \)

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Ok wusste Ich nicht

Answer 1

Danke gastjc2144!

Es muss heißen: g₁: \( \vec{x} \) =...

Vorgehensweise:

Setze mal die Geradenterme gleich: Dann bekommst du aus den beiden ersten Gleichungen t=14. In die 3. Gleichung eingesetzt ergibt sich ein Widerspruch. Also sind die Geraden windschief.

Bilde dann die Differenz zweier allgemeiner Punkte von g₁ und g₂ und berechne den Abstand dieser Punkte!

d² = (6+3t+8-4t)² + (-8-t-20+3t)² + (1+2t-3-t)²

d² = (14-t)² +(-28+2t)² + (-2+t)²

d² = 984 -144t +6t²

Wo wird d² minimal? Der Graph von d² ist eine nach oben geöffnete Parabel, also mit einem absoluten Minimum im Scheitel.

t_s= -b/(2a) = 12

d² wird bei t_s = 12 minmal. (Minimum = y-Wert = 120)

⇒ d wird bei t_s =12 minimal. Das heißt: Die beiden Flugzeuge(?) kommen sich zum Zeitpunkt t=12 am nächsten.

Dann ist der minimale Abstand = \( \sqrt{120} \) (LE).

Comments

2. In der ersten Zeile muss es t heißen, dann aber in der zweiten s; eine andere Variable!

Das muss nicht unbedingt sein. Wenn im Sachzusammenhang die beiden Geraden z.B die Flugroute zweier Flugzeuge beschreiben, dann haben sie den selben Parameter t ( die Zeit). Dann stellt der Ausdruck d(t) den Abstand der beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt t dar.

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Danke, konnte es lösen.

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"Flugzeugaufgabe" wurde verbessert!

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und zu Ende gerechnet!